习题8.2反常积分的收敛判别法(3)

（4）?由

??0arctanx1arctanx??arctanxdx?dx?dx。 ??ppp01xxxarctanx11arctanxdx收敛； ～,可知当时积分(x?0?)p?2?pp?1p0xxxarctanx???arctanxdx收敛。 ～，可知当时积分(x???)p?1?1xp2xpxp??0由

所以当1?p?2时积分?arctanxdx收敛，在其余情况下积分 px???0arctanxdx发散。 xp?/2（5）?0由

tanxxpdx??011p?x2?/4tanxxpdx???/4?/2tanxxpdx。

tanxxptanx～px(x?0?)，可知当p?3?/4时积分?02dx收敛，当

p?3?/4时积分?02tanxxpdx发散；

tanx由～px2p?p(?x)2?12(x??2?)，可知积分??/4?/2tanxxpdx收敛。

所以当p??/23?/2时积分?02tanxxpdx收敛，当p?3时积分 2?0tanxxp??dx发散。

1??（6）?0xp?1e?xdx??0xp?1e?xdx??1xp?1e?xdx。

由于积分?1xp?1e?xdx收敛，及xp?1e?x～

??????1x1?p(x?0?)，所以当p?0时

积分?0xp?1e?xdx收敛，当p?0时积分?0xp?1e?xdx发散。 （7）?0??1111??dx?dx??0xp?xq?1xp?xqdx。 xp?xq??当p?q时，显然积分?0

1dx发散；

xp?xq288

当p?q时，由于

1111～，～(x?0?)(x???)， pqmin(p,q)pqmax(p,q)x?xxx?xx所以当min(p,q)?1，且max(p,q)?1时积分?0分?0????1dx收敛，其余情况下积

xp?xq1dx发散。

xp?xq（8）设p?1，则对任意的q，当x充分大时，有

1?pqxlnx1xp?12，因为

p?1?1，2可知积分?2??1dx收敛。

xplnqx1?pqxlnx1xp?12设p?1，则对任意的q，当x充分大时，有，因为

p?1?1，2可知积分?2??1dx发散。 pqxlnx设p?1，令lnx?t，则

?2??1??dtdx?，由此可知当p?1 或 ?pqln2qxlnxtp?1,q?1 时积分?2??11??dxdx发散。收敛，在其余情况下积分 ?pqpq2xlnxxlnx??⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：

p?1??xdx; ⑴ ?01?x2⑶

⑵ ⑷

?1xqsinxdx (p?0);

1?xpsinx?0??esinxcosxdx; xp?0??esin2xdx; xp11cosdx； (5) ?0p2xx1??1??sin?x?? (6) ???x?dx (p?0). ?1px解（1）?0p?1p?1xp?11x??xdx??0dx??1dx。 221?x21?x1?x11xp?1xp?1(x?0?)(x???)，可知当0?p?2时积由～，～1?p3?p22xx1?x1?x 289

分?0??p?1xp?1??xdx收敛，在其余情况下积分?0dx发散。 1?x21?x2q??xsinxxq|sinx|1dx绝对收 （2）当q?p?1时，由?p?q，可知积分?1pp1?x1?xx敛。

当p?1?q?p时，因为F(A)??1Axq单 sinxdx有界，当x充分大时p1?xqxq??xsinx调减少，且lim?0，由Dirichlet判别法，积分?1dx收敛； px???1?xp1?x但因为积分?1件收敛。

????sinxxq|sinx|发散，所以当时积分p?1?q?pdx?1xpdx条 p1?x当q?p时，由于n??时?2n???2n?xqsinxdx不趋于零，可知积分 1?xp?1??xqsinxdx发散。

1?xp??sinxsinxesinxcosxcosxcosx1e??edx?dx?dx。 ??ppp01xxx（3）?0sinxcosx1esinxcosx1e(x?0?)p?1dx收敛，在其由～，可知当时积分?ppp0xxx1esinx余情况下积分?0cosxpxdx发散。

??当p?1时，易知积分

?1esinx|cosx|dx发散；当p?0时，易知积分

xp?1??esinxcosxdx发散。 px当0?p?1时，因为

?Asinxe1cosxdx?e?1，

11lim?0，单调减少，且ppx???xx由Dirichlet判别法；可知积分?1??esinxcosxdx收敛。 px??综上所述，当0?p?1时，积分?0

esinxcosxdx条件收敛，在其余情况下积px290

分?0??esinxcosxdx发散。 px??esinxsinxsinxsin2xsin2xsin2x1e??edx?dx?dx。 ??ppp01xxx（4）?0sinxsin2x2esinxsin2x1e(x?0?)p?2由～，可知当时积分dx收敛，?p?1pp0xxx1esinx在其余情况下积分?0sin2xdx发散。 px??当1?p?2时，显然积分?1esinx|sin2x|dx收敛；当p?1时，易知积分px?1??sinxsin2xesinx|sin2x|??ep?0dxdx发散。 发散；当时，易知积分?pp1xx当0?p?1时，因为?k?(k?1)?esinxsin2xdx?0，可知

?Asinxe0sin2xdx有界，且

11lim?0，由Dirichlet判别法，可知积分 单调减少，ppx???xx?1??esinxsin2xdx收敛。 px??esinx综上所述，当1?p?2时积分?0sin2xdx绝对收敛，当0?p?1时积分px?0??esinxsinxsin2xsin2x??edxdx发散。 条件收敛，在其余情况下积分?pp0xx（5）令t?1，则 x2111??1cosdx?costdt。 ?0xp?23?p12xt21于是可知当p?1时积分

11cosdx绝对收敛；当1?p?3时积分?0xp2x111111cosdxcosdx发散。 条件收敛，当时积分p?3?0xp?220pxxx1 291

1?1???sin?x??sin?x??x???1x???dx绝对收敛。 （6）当p?1时，因为，可知积分??1pppxxx?26当0?p?1时，因为?n??n???1??1?sin?x???x??23dx?，而级数 ppx????n???2??n?1???1?n???2????p发散，所以积分?1??1??sin?x??x??dx发散；又因为 px1sin(x?)??xdx??1xpcos111sincosx?cossinxsin??xxx与dx，注意到当充分大时，x?1xpxp1??1sin?x??x?x都是单调减少的，由Dirichlet判别法可知积分???dx收敛，所以?pp1xx1??sin?x????x??dx条件收敛。 积分?1px10．证明反常积分?0xsinx4sinxdx收敛。 证 对任意A\?A'?A，由分部积分法，

A\sin???A'A\xsinx4sinxdx???A'4A\x4x2d(cosx4)

44?sinxcosx?A\cosxcosxA\cosxsinx???dx??A'dx。 ??232A'???4x2x4x??A'显然，当A???时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理，可知反

常积分?0xsinx4sinxdx收敛。

11．设f(x)单调，且当x?0?时f(x)???，证明：?0f(x)dx 收敛的必要条件是limxf(x)?0。

x?0?1??证 首先由f(x)的单调性，对于充分小的0?x?1，有

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