习题8.2反常积分的收敛判别法(2)

Kb⑴ f(x)?，且，则p?1f(x)dx收敛； ?a(b?x)p⑵ f(x)?Kb，且，则p?1?af(x)dx发散。

(b?x)pb证 （1）当p?1时，积分?a1dx收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， p(b?x)???0，???0，??,?'?(0,?)：

b??'?b??b??'1?。 dx?pK(b?x)由于

?b??f(x)dx??b??b??'bK，所以f(x)dx收敛。 dx???ap(b?x)（2）当p?1时，积分?ab1dx发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， p(b?x)b??'??0?0，???0，??,?'?(0,?)：?b??由于

?01。 dx?pK(b?x)?b??b??'f(x)dx??b??b??'bK，所以dx???af(x)dx发散。 0p(b?x)推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[a,b)上恒有f(x)?0，且

x?b?lim(b?x)pf(x)?l，

则

⑴ 若0?l???，且p?1，则?af(x)dx收敛；

⑵ 若0?l???，且p?1，则?af(x)dx发散。 证 （1）由lim(b?x)pf(x)?l （p?1,0?l???），可知

x?b?bb???0，?x?(b??,b)：f(x)?l?1， p(b?x)再应用定理8.2.3?的（1）。

（2）由lim(b?x)pf(x)?l （p?1,0?l???），可知

x?b????0，?x?(b??,b)：f(x)?l， p2(b?x) 283

再应用定理8.2.3?的（2）。

定理8.2.5? 若下列两个条件之一满足，则?af(x)g(x)dx收敛： ⑴（Abel判别法）

b?abf(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界；

b??a ⑵（Dirichlet 判别法）F(?)??单调且limg(x)?0。

x?b?f(x)dx在(0,b?a]上有界，g(x)在[a,b)上

证 （1）设|g(x)|?G，因为?af(x)dx收敛，由Cauchy收敛原理，

???0，???0，?A,A??(b??,b)：

b?A?Af(x)dx?A??2G。

由积分第二中值定理，

?A?Af(x)g(x)dx?g(A)??f(x)dx?g(A?)??f(x)dx

A???G?f(x)dx?G?f(x)dx????。

A?22?A???（2）设|F(?)|?M，于是?A,A??[a,b)，有

?A?Af(x)dx?2M。因为limg(x)?0，

x?b????0，???0，?x?(b??,b)，有g(x)??4M。由积分第

A?二中值定理，

?A?Af(x)g(x)dx?g(A)??f(x)dx?g(A?)??f(x)dx

A???2M|g(A)|?2M|g(A?)|????。

22??所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有?敛的结论。

⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑴ ⑶ ⑸ ⑺

??af(x)g(x)dx收

?03?0?211dx;

x2(1?x)

lnxdx;

⑵ ?0x2?111dx;

cos2xsin2x⑷ ⑹

?0?21?cosxdx; xp?01|lnx|pdx;

p?1?0xp?1(1?x)q?1dx;

1?0x1(1?x)q?1|lnx|dx.

解 （1）因为

31x(1?x)2～

12x3(x?0?)，

13x(1?x)2～

1(1?1x)3(x?1?)，所以

284

积分?0131dx收敛。 2x(1?x)1lnxx?lnx?，且对任意0???1，lim2（2）因为lim2?0，即当x?0充分

x?1?x?1x?0?x?12小时，有

1lnxlnx1，所以积分???0x2?1dx收敛。 2x?1x（3）因为

以积分?0?2?1111(x??)，所～，～(x?0?)22222?2cosxsinxxcosxsinx(?x)221dx发散。

cos2xsin2x?1?cosx1?cosx12(x?0?)（4）因为～，所以当时积分p?3?0xpdx收敛，pp?2x2x?2当p?3时积分?01?cosxdx发散。 xpx?0?（5）首先对任意的0???1与任意的p，有lim[x?|lnx|p]?0，即当x?0充分小时，有lnxp?11plnx(x?1?)。所以当p??1时，积分；且 ～??px(1?x)1?01|lnx|pdx收敛，当p??1时，积分?0|lnx|pdx发散。

（6）xp?1(1?x)q?1～

11x1?p(x?0?)，xp?1(1?x)q?1～

1(x?1?)，所以在1?q(1?x)p?0,q?0时积分?0xp?1(1?x)q?1dx收敛，在其余情况下积分

?0xp?1(1?x)q?1dx发散。

（7）xp?1(1?x)q?1|lnx|～

p211(x?1?)，且 ?q(1?x)x?0?lim[x1?(xp?1(1?x)q?1|lnx|)]?0，即当x?0充分小时，有

1x1?p2xp?1(1?x)q?1lnx?，所以当p?0,q??1时积分?0xp?1(1?x)q?1|lnx|dx收

11敛，在其余情况下积分?0xp?1(1?x)q?1|lnx|dx发散。

285

⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：

⑴ ⑶ ⑸

?0?01xp?1?xq?1dx (p,q?R?); ⑵

lnxln(1?x)dx; xp?0??31dx; 2x(x?1)(x?2)?? ⑷ ⑹

???0arctanxdx ; px?0?/2tanxxpdx;

?0??xp?1e?xdx;

⑺

?01??1dx;

xp?xq ⑻

?2??1dx. pqxlnx解（1）?0p?111q?1xp?1?xq?1?xq?1xp?1x1xdx??02dx。 dx??02dx??1lnxlnxlnxlnx2当p?0，q?0时积分?时，

1201q?1xp?1xdx与积分?02dx显然收敛，且当x?1?lnxlnx(p?q)(x?1)xp?1?xq?1?1?(x?1)?p?1?1??1?(x?1)?q?1?1?p?q， ～?x?1lnxln?1?(x?1)?????即?112p?1?xq?11xxp?1?xq?1dx收敛。 dx不是反常积分，所以积分?0lnxlnx（2）?0??31x(x?1)(x?2)12dx??0311x(x?1)(x?2)2dx??1231x(x?1)(x?2)2dx

??2??3x(x?1)(x?2)132dx。

因为

x(x?1)(x?2)2～?3～?12?11x3(x?0?)，

131(x2?1)3x(x?1)(x?2)2(x?1?)，

所以积分?0因为

131x(x?1)(x?2)2dx收敛；

286

13x(x?1)(x?2)1～32～?1(x2?1)3(x?1?)，

123x(x?1)(x?2)232?(x11?2)3(x?2?)，

所以积分?1因为

1x(x?1)(x?2)12dx收敛；

3x(x?1)(x?2)12～3～

121?(x11?2)3(x?2?)，

3x(x?1)(x?2)??324x3(x???)，

所以积分?21x(x?1)(x?2)??32dx收敛。

由此可知积分?0??1dx收敛。 2x(x?1)(x?2)1?1ln(xpx)dx?（3）?0由

ln(1?x)dx?px?0?1??ln(1?x)dx。 pxln(1?x)11?x)1ln((x?0?)p?2～，可知当时，积分?0xpdx收敛，当

xpxp?11?1ln(xpp?2时，积分?0x)dx发散；

?3p?1ln(1?x)?当p?1时，lim?x2???0，即当x?0充分大时，有 px????x???ln(1?x)?px13p?1x2，其中

3p?11?x)??ln(?1，可知当p?1时，积分?1dx收敛，当p2xp?1时，积分?1??ln(1?x)dx发散； px??0综上所述，当1?p?2时，积分?ln(1?x)dx收敛，在其余情况下积分xp?

??0ln(1?x)dx发散。 px287

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