池塘养鱼的最优方案模型(2)

图2 模型II的鱼的重量随时间的函数关系图

根据图像可以看出，鱼苗在前150天的生长基本很不明显，在150天到250天之间的体重开始有较为明显的增长，在后期体重增长更为突出。

再利用以上公式，可以计算出从鱼苗长到成鱼各个阶段所需要的生长天数，整理得到下表：

鱼的重量（kg） 所需饲养的天数（天） 0.002--0.20 0.2--1.00 1.00--1.5 1.5--2.00 0--243 244--328 329--349 350--365 表1鱼的重量与饲养天数的关系表

我们要用有限的资源来产生更多的利润，故在考虑收益问题时，我们考虑到

每条鱼所能带来的利润不仅与饲料费和单价有关，还与鱼所生活的空间有关，因为不同大小的鱼单价、费用和生活空间的大小各不相同，所以在计算利润时，我们将以每一平方米鱼塘所能产生的收益大小作为标准，来求最佳养鱼方案。

已知当鱼的质量与时间的函数式为

qt?0.002?e0.018925t

q?0.20.2?q?11?q?1.51.5?q?2

又已知鱼重与鱼价之间的关系式为：

?0元/kg??6元/kg Q???10元/kg??15元/kg

根据以上函数关系式可以求得每条鱼养殖t天后所用的饲料费：

i?1

又已知鱼的存活空间为1千克每平方米，故我们可以求出在不同质量范围内的鱼，一千克所能获利的大小，即在不同质量范围的鱼群中每平方米鱼塘的收益多少。

设鱼的单价为b元/kg,则每条鱼的收入为

0.018925tc?b?0.002e t

mt?2.5?0.05??0.002?e0.018925tt再结合费用函数，最终我们求得每平方米鱼塘的收益函数为： 即

f(t)?(ct?mt)/qt

0.018925tb?0.002ef(t)?

?2.5?0.05??0.002?e0.018925ti?1t0.002e0.018925t0.018925te?i?1t

?b?0.125?

e0.018925t

e0.018925?e0.018925t?b?0.125?0.018925t0.018925(t?1)e?e

e0.018925(t?1)?1?b?0.125?0.0189251?e

故当鱼质量q<0.2kg时，其单价为0元/kg，该类鱼每平方米鱼塘的收益函

数为负值，即

e0.018925(t?1)?1f(t)?0?0.125??00.0189251?e

此时，鱼还没有产生效益，只有投入的费用，并没有收入，故不能卖出，并

且在养殖后期，对于不能成长到产生收益的鱼苗应该考虑不予投入养殖，以免产生收不回的坏账。

当鱼质量0.2kg≤q<1kg时，虽然其单价为6元/kg此时价格不为0了，说明有收入产生，可是经计算该类鱼每平方米鱼塘的收益函数仍然为负值， 即 0.018925(t?1)f(t)?6?0.125?

e?11?e0.018925?0

其函数图像为

图3 质量为0.2kg≤q<1kg的鱼的单位面积收益函数图像

根据计算和图像我们可以直观的看到此质量范围内的每条鱼的收入小于成本，故质量在0.2kg≤q<1kg范围的鱼不能卖出，同理在养殖后期，该段时间也应该考虑在不能投放小鱼的养殖时间，以免因为时间不足而得不到利润。

当鱼质量1kg≤q<1.5kg时，虽然其单价为10元/kg，经计算该类鱼每平方米鱼塘的收益函数为正值，说明此质量范围内的每条鱼的收入大于成本，已经开始产生了经济效益，养鱼人可以考虑卖出，根据单位面积该种质量范围的鱼所产生的利润大小来衡量是按此种方式进行投放和在何时间段投放及卖出，据计算其函数表达式如下：

e0.018925(t?1)?1f(t)?10?0.125??00.0189251?e

该函数图像为

图4 质量为1kg≤q<1.5kg的鱼的单位面积收益函数图像

当鱼质量1.5kg≤q≤2kg时，虽然其单价为10元/kg，经计算该类鱼每平方米鱼塘的收益函数也为正值，即

0.018925(t?1)f(t)?15?0.125?

该函数图像为

e?11?e0.018925?0

图5 质量为1.5kg≤q≤2kg的鱼的单位面积收益函数图像

综上所述，我们可以得到在不同质量范围的鱼群中每平方米鱼塘的收益函数为

?e0.018925(t?1)?1?f(t)?0?0.125?1?e0.018925,q?0.2kg?e0.018925(t?1)?1?f(t)?6?0.125?,0.2kg?q?1kg0.018925??1?ef(t)??0.018925(t?1)?1?f(t)?10?0.125?e,1kg?q?1.5kg0.018925?1?e?0.018925(t?1)e?1?f(t)?15?0.125?,1.5kg?q?2kg0.018925?1?e?

根据图像我们可以知道，该分段函数在各自的定义域内为一个递减函数，故

养鱼人要有利可图则只要求收益函数值在为正值，并且各质量范围中（即在各分段函数中）的最大值是各段函数的左端点的函数值，也就是这些左端点是各质量范围内的鱼可得到的最大利润值。

结合表1和以上收益函数，当鱼的质量为1kg时，单价为10元/kg，此时需要生长的时间是328天，经计算该类鱼的每平方米收益值为

e0.018925(328?1)?1f(328)?10?0.125??3.47070.0189251?e

每条1kg的鱼可以获利

wt?qt?f(t)

e0.018925(328?1)?1?1?(10?0.125?)0.018925 1?e

?3.4707

当鱼的质量为1.5kg时，单价为15元/kg，需要生长的时间是349天，故此类鱼的每平方米收益值为

e0.018925(349?1)?1f(349)?15?0.125??8.4664 0.0189251?e

每条1.5kg的鱼可以获利

wt?qt?f(t)

e0.018925(349?1)?1?1.5?(15?0.125?)0.0189251?e

当鱼的质量为2kg时，单价为15元/kg，需要生长的时间是365天，故此类鱼的每平方米收益值为

?12.6995

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