高等数学12-13学年第一学期中试题解答与评分标准(2)

西北工业大学命题专用纸 五、（6分）试证明方程x4?2x2?1?0有且只有二个实根。 解 设f?x??x4?2x2?1，其定义域为???,??? 由f??x??4x3?4x?4x?x?1??x?1??0，得驻点x1?0,x2?1,x3??1 2分 在???,?1?上，f??x??0，所以方程f?x??0在???,?1?内至多只有一个实根， 又f??1???2?0，f??2??7?0，所以f?x??0在???,?1?内至少有一个实根； 因为??1,0?上，f??x??0， 又f?0???1?0， 所以在??1,0?内f?x??0，即方程f?x??0在??1,0?无实根； 在?0,1?上， f??x??0，又f?0???1?0， 所以在内f?x??0，即方程f?x??0在?0,1?无实根； 4分 在?1,???上，f??x??0，所以方程f?x??0在?1,???内至多只有一个实根， 又f?1???2?0，f?2??7?0，所以方程f?x??0在?1,???内至少有一个实根。 综上，方程x4?2x2?1?0有且只有二个实根。 6分 六、（6分）设f?x?为二阶可导函数，且f???x??0 ，f?0??0，试证明对于任何 x1,x2?0，都有f?x1?x2??f?x1??f?x2?。 解 不妨设0?x1?x2（对于0?x2?x1可类似证明） 由条件知，f?x?在?0,x1?上连续，在?0,x1?内可导，根据拉格朗日中值定理 f?x1??f?0??f???1?x1?0??1?x1? ?x2??2?x1?x2? 3分 同理可得f?x1?x2??f?x2??f???2?x1 所以f?x1?x2??f?x2??f?x1???f???2??f???1??x1 ?f???????2??1?x1 （拉格朗日中值定理） 5分 条件知f??????0，??2??1??0，x1?0，所以f?x1?x2??f?x2??f?x1??0 即f?x1?x2??f?x1??f?x2? 6分 教务处印制 共 6页 第 6页

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