高等数学12-13学年第一学期中试题解答与评分标准

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西北工业大学考试试题（卷）

2012-2013学年第一学期期中考试

开课学院 理学院 课程 高等数学(上) 学时 96 考试日期 2012年11月14日 考试时间 2 小时 考试形式（闭）（A）卷 姓 名 题 号 得 分 一 二 班 级 三 四 学 号 五 六 总 分 一、选择题（每小题四个备选答案中，只有一个是正确的。每小题3分，共18分） 1. 下列四个函数中，（ B ）与其他三个函数不同。 A. f?x??x B. f?x??x?x2??x,x?0 C. f?x??? D. f?t??t2 x?0?x,2. 下列四个表达式中，复合函数是（ D ）。 A. ln?cosx?1? B. arcsin?1?ex? C. x2tanx D. sin2x 3. 下列命题正确的是 （ C ） A. 如果函数f?x?在x0点无定义，则f?x?在x0点的极限一定不存在。 B. 如果函数f?x?在x0点的左、右极限都存在，而且相等，则f?x?在x0点连续。 C. 如果函数f?x?在x0点连续，则f?x?在x0点的极限存在，且等于f?x0?。 D. 如果函数f?x?在x0点的左、右极限都存在，则f?x?在x0点的极限必存在； 教务处印制 共6页 第1页

西北工业大学命题专用纸 4.下列命题正确的是（ C ） A. 如果x0是f?x?的第一类间断点，则f?x?在x0点的左、右极限一定不相等。 B. 如果x0是f?x?的第二类间断点，则f?x?在x0点左、右极限都不存在。 C. 如果f?x?在区间?a,b?上连续，则一定存在x?,x???a,b?，使得任取x??a,b?，都有f?x???f?x??f?x?? D. 如果f?x?是初等函数，则f?x?在其定义域内每一点处都连续； 5. 下列命题正确的是（ B ） A. 函数f?x?在x0点连续是函数f?x?在x0点可导的充分条件，而非必要条件。 B. 函数f?x?在x0点连续是函数f?x?在x0点可微的必要条件，而非充分条件。 C. 函数f?x?在x0点可微是函数f?x?在x0点可导的充分条件，而非必要条件。 D. 函数f?x?在x0点可微是函数f?x?在x0点连续的必要条件，而非充分条件。 6. 如果y?f??x?的图形如下，则下列表述错误的是（ D ） y y?f??x? ? ? o x1 ? ? x2 x3 x4 x A. 函数y?f?x?在?x1,x2?上单调递减，在?x2,x4?上单调递增。 B. 函数y?f?x?在?x2,x3?上下凸，在?x3,x4?上上凸。 C. x1是函数y?f?x?的极大值点，f?x2?是函数y?f?x?的极小值。 D. ?x2,f?x2??是函数y?f?x?的拐点。 教务处印制 共6页 第2页

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二、填空题（每小题4分，共40分） 1、已知f?3x?2??x3x?2?x?，则f? 。 ?? 1?x1?x6x?5???x?1,x?02、已知f?x???，g?x??2x?1，则f??g?x???? cos?2x?1? 。 cosx,x?0?3、limxsinx??1? 1 。 x?1x?x?1??24、lim??? e 。 x??x?1??5、 lim?lnx?cosx?11? 0 。 2x?16、lim?xlnx? 0 。 x?07、已知f?x???2x?1?5x?3，则f??0?? 6 。 2??d2y3?t?etdy1?x?3t?5t8、已知?，则 。 ? ?2?t?e , 2? 2tdx36tdx6?y?te?9、曲线y1?xlny?1?0在??2,1?点处的切线方程为 y?1???x?2? 。 x?1310、已知f?x???4x?5?e2x?3，则f?n??x?的xe2x?3项的系数为 2n?2 。 教务处印制 共 6页 第 3页

西北工业大学命题专用纸 三、计算下列极限（每小题6分，共18分） 1、lim?12n??????? 22n??n2?sin1n?sin2n?sinn??n?n?1?12nn?n?1? 3分 ??????222222n?1n?sin1n?sin2n?sinn2n?1 解 因为????又limn?n?1?1n?n?1? 5分 ??limn??2n2?12n??2n2?1????12n??1?2???2?? 6分 所以 lim?2n??n?sin1n?sin2n?sinn?2? 2、limx?0xex?1sin2x?x?sinx? 解 limx?0xe?1sin2x1?cosx6x2?x?sinxx??limx?sinx2x3x?02x?? 2分 xe?1sin2xx ?limx?0 4分 ?limsinx1? 6分 12x?012xx?03、已知f??1??5，求limf?cosx??f?1?sin2x? 3x?f?cosx??f?1?cosx?1f?1?sin2x??f?1??sin2x????解 原式?lim?? 3分 x?0cosx?13x?sin2x3x??10?2?2?f??1??0?f??1?????f??1?? 3?3?36分 教务处印制 共 6页 第 4页

西北工业大学命题专用纸 四、求待定常数（每小题6分，共12分） 1、试确定a和b的值，以使limx?2xln?ax?b??3 x2?4 解 因为极限存在，且lim?x2?4??0， x?2所以limxln?ax?b??2ln?2a?b??0，即2a?b?1 3分 x?2 所以limx?2xln?ax?b??limx?2x2?4ln?ax?b??2xaxax?b?2a?3，即11a?6b?0 5分 4?2a?b? 由此得a?6，b??11。 6分 2??ax?bx?1,x?12、试确定a和b的值，以使f?x???x在其定义域内可微。 ?x?1?xe,f?x??f?1?ax2?bx?1?e?lim??lim??2ax?b??2a?b 解 由f??1??limx?1?x?1x?1x?1x?1f?x??f?1?xex?ex???lim?lim1?xe?2e ?lim??x?1?x?1x?1x?1x?1 得2a?b?2e 3分 由lim?f?x??lim?ax?bx?1?a?b?1 2x?1x?1?? ?lim?f?x??lim?xe?e，得a?b?1?e 5分 xx?1x?1 所以a?e?1，b??2。 6分 教务处印制 共 6页 第 5页

西北工业大学命题专用纸 五、（6分）试证明方程x4?2x2?1?0有且只有二个实根。 解 设f?x??x4?2x2?1，其定义域为???,??? 由f??x??4x3?4x?4x?x?1??x?1??0，得驻点x1?0,x2?1,x3??1 2分 在???,?1?上，f??x??0，所以方程f?x??0在???,?1?内至多只有一个实根， 又f??1???2?0，f??2??7?0，所以f?x??0在???,?1?内至少有一个实根； 因为??1,0?上，f??x??0， 又f?0???1?0， 所以在??1,0?内f?x??0，即方程f?x??0在??1,0?无实根； 在?0,1?上， f??x??0，又f?0???1?0， 所以在内f?x??0，即方程f?x??0在?0,1?无实根； 4分 在?1,???上，f??x??0，所以方程f?x??0在?1,???内至多只有一个实根， 又f?1???2?0，f?2??7?0，所以方程f?x??0在?1,???内至少有一个实根。 综上，方程x4?2x2?1?0有且只有二个实根。 6分 六、（6分）设f?x?为二阶可导函数，且f???x??0 ，f?0??0，试证明对于任何 x1,x2?0，都有f?x1?x2??f?x1??f?x2?。 解 不妨设0?x1?x2（对于0?x2?x1可类似证明） 由条件知，f?x?在?0,x1?上连续，在?0,x1?内可导，根据拉格朗日中值定理 f?x1??f?0??f???1?x1?0??1?x1? ?x2??2?x1?x2? 3分 同理可得f?x1?x2??f?x2??f???2?x1 所以f?x1?x2??f?x2??f?x1???f???2??f???1??x1 ?f???????2??1?x1 （拉格朗日中值定理） 5分 条件知f??????0，??2??1??0，x1?0，所以f?x1?x2??f?x2??f?x1??0 即f?x1?x2??f?x1??f?x2? 6分 教务处印制 共 6页 第 6页

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