2012-2013西城区高三上学期期末考试数学(理科)试题(2)

解法二：因为 A?根据正弦定理得 所以 AC??4，B???π3，

， ??????7分

ACBCsinAsinBBC?sinBsinA6． ??????8分

根据余弦定理得 AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB， ??????9分 化简为 AB2?2AB?2?0，解得 AB?1?123?23． ??????11分

所以 △ABC的面积S?16．（本小题满分14分）

AB?BCsinB?3．

??????13分

（Ⅰ）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO．

因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．

Pz因为 E为棱PD中点．所以 PB//EO． ????3分 因为 PB?平面EAC，EO?平面EAC， 所以直线PB//平面EAC． ??????4分

xAEDOByC（Ⅱ）证明：因为PA?平面PDC，所以PA?CD． ??????5分

因为四边形ABCD为正方形，所以AD?CD， 所以CD?平面PAD． ??7分

所以平面PAD?平面ABCD． ??????8分

（Ⅲ）解法一：在平面PAD内过D作直线Dz?AD．

因为平面PAD?平面ABCD，所以Dz?平面ABCD．

由Dz,DA,DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz． ????9分 设AB?4，则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),P(2,0,2),E(1,0,1)． 所以 EA?(3,0,?1)，AC?(?4,4,0)．

??????n?EA?0,设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，则有?????

??n?AC?0.

?3x?z?0,所以 ? 取x?1，得n?(1,1,3)． ??????11分

?4x?4y?0．?易知平面ABCD的法向量为v?(0,0,1)． ??????12分

|n?v||n||v|31111〈n,v〉|?所以 |cos?． ??????13分

由图可知二面角E?AC?B的平面角是钝角， 所以二面角E?AC?B的余弦值为?31111． ??????14分

解法二：取AD中点M，BC中点N，连结PM，MN． 因为ABCD为正方形，所以MN//CD． 由（Ⅱ）可得MN?平面PAD． 因为PA?PD，所以PM?AD． 由MP,MA,MN两两垂直，建立如图所示

xAPEMzDOBNCy的空间直角坐标系M?xyz． ??????9分

设AB?4，则A(2,0,0),B(2,4,0),C(?2,4,0),D(?2,0,0),P(0,0,2),E(?1,0,1)． 所以 EA?(3,0,?1)，AC?(?4,4,0)．

??????n?EA?0,设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，则有?????

??n?AC?0.

?3x?z?0,所以 ? 取x?1，得n?(1,1,3)． ??????11分

?4x?4y?0．?易知平面ABCD的法向量为v?(0,0,1)． ??????12分

|n?v||n||v|31111〈n,v〉|?所以|cos?． ??????13分

由图可知二面角E?AC?B的平面角是钝角， 所以二面角E?AC?B的余弦值为?31111． ??????14分

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为

元件B为正品的概率约为

40?32?810040?29?6100??4534． ??????1分 ． ??????2分

（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X的所有取值为90,45,30,?15． ??????3分

?)? P(X?9055P(X?30)?4?1443?4?15； P(X?45)?5315?1534??14320?1；

． ??????7分

； P(X??15)?20所以，随机变量X的分布列为:

X P 90 3545 32030 15?15 120 ??????8分

EX?90?35?45?320?30?15?(?15)?120?66． ??????9分

（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5?n件. 依题意，得 50n?10(5?n)?140， 解得 n?196． 所以 n?4，或n?5．???11分

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A， 则 P(A)?C5()?443413581．??????13分?()? 44128

18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当b?0时，f(x)?分

② 当b?0时，f?(x)?b?x2221x． 故f(x)的单调减区间为(??,0)，(0,??)；无单调增区间．?1

(x?b)． ??????3分

令f?(x)?0，得x1?b，x2??b．

f(x)和f?(x)的情况如下：

x (??,??b) ?b0 (?b,b) b0 (b,??) ?f?(x) f(x) ? ↘ ↗ ↘ b)．

故f(x)的单调减区间为(??,?b)，(b,??)；单调增区间为(?b,??????5分

③ 当b?0时，f(x)的定义域为D?{x?R|x???b}．

b?x222因为f?(x)?(x?b)?0在D上恒成立，

故f(x)的单调减区间为(??,??b)，(??b,?b)，(?b,??)；无单调增区间．

??????7分

2（Ⅱ）解：因为b?0，x?[,]，所以 f(x)?1 等价于 b??x?x，其中x?[,]．??9分

13134444设g(x)??x2?x，g(x)在区间[,]上的最大值为g()?44213114．??????11分

则“?x?[,]，使得 b??x2?x”等价于b?4411314．

所以，b的取值范围是(0,]． ??????13分

419．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：依题意，设直线AB的方程为x?my?2． ??????1分

将其代入y2?4x，消去x，整理得 y2?4my?8?0． ??????4分 从而y1y2??8． （Ⅱ）证明：设M(x3,y3)，N(x4,y4)．

y21y22则

k1y3?y41?x23?y41?y2．k?2x3?x?x4y1?y?y2y2?4?423y1?y?y2y3?y44?y44设直线AM的方程为x?ny?1，将其代入y2?4x，消去x，

整理得 y2?4ny?4?0． ??????9分

所以 y1y3??4． ??????10分 同理可得 y2y4??4． ??????11分 故k1y1?y2y1?y2 k?2y3?y??y1y2． 4?4y??4?41y2由（Ⅰ）得 k1k?2，为定值． 220．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．

?1 ?1 ?1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （Ⅱ）解：不存在A?S(9,9)，使得l(A)?0． 证明如下：

假设存在A?S(9,9)，使得l(A)?0．

??????5分

??????7分

??????13分

14分

??????3分 ??????4分

?????? 因为ri(A)?{1,?1}，cj(A)?{1,?1} (1?i?9,1?j?9)，

所以r1(A)，r2(A)，?，r9(A)，c1(A)，c2(A)，?，c9(A)这18个数中有9个1，9个?1． 令M?r1(A)?r2(A)???r9(A)?c1(A)?c2(A)???c9(A)．

一方面，由于这18个数中有9个1，9个?1，从而M?(?1)9??1． ①

另一方面，r1(A)?r2(A)???r；(A表)示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）9c1(A)c?2(A)??c?(A)9也表示m， 从而M?m2?1． ②

①、②相矛盾，从而不存在A?S(9,9)，使得l(A)?0． ??????8分

（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为p．

一方面，从“行”的角度看，有p?r1(A)?r2(A)???rn(A)； 另一方面，从“列”的角度看，有p?c1(A)?c2(A)???cn(A)．

从而有r1(A)?r2(A)???rn(A)?c1(A)?c2(A)???cn(A)． ③ ??????10分

注意到ri(A)?{1,?1}，cj(A)?{1,?1} (1?i?n,1?j?n)．

下面考虑r1(A)，r2(A)，?，rn(A)，c1(A)，c2(A)，?，cn(A)中?1的个数：

由③知，上述2n个实数中，?1的个数一定为偶数，该偶数记为2k(0?k?n)；则1的个数为2n?2k， 所以l(A)?(?1)?2k?1?(2n?2k)?2(n?2k)． ??????12分 对数表A0：aij?1(i,j?1,2,3,?,n)，显然l(A0)?2n．

将数表A0中的a11由1变为?1，得到数表A1，显然l(A1)?2n?4． 将数表A1中的a22由1变为?1，得到数表A2，显然l(A2)?2n?8． 依此类推，将数表Ak?1中的akk由1变为?1，得到数表Ak． 即数表Ak满足：a11?a22???akk??1(1?k?n)，其余aij?1． 所以 r1(A)?r2(A)???rk(A)??1，c1(A)?c2(A)???ck(A)??1． 所以l(Ak)?2[(?1)?k?(n?k)]?2n?4k．

由k的任意性知，l(A)的取值集合为{2(n?2k)|k?0,1,2,?,n}．?????13分

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