2012-2013西城区高三上学期期末考试数学(理科)试题

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科）

2013.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项．

1．已知集合A?{x?R|0?x?1}，B?{x?R|(2x?1)(x?1)?0}，则A?B?（ ） （A）(0,12)

（B）(?1,1)

（C）(??,?1)?(12,??)

（D）(??,?1)?(0,??)

2．在复平面内，复数5i2?i的对应点位于（ ）

（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

3．在极坐标系中，已知点P(2,?6)，则过点P且平行于极轴的直线的方程是（ ）

（A）?sin??1

（B）?sin??3 （C）?cos??1

（D）?cos??34．执行如图所示的程序框图．若输出S?15， 则框图中 ① 处可以填入（ ） （A）k?2 （B）k?3 （C）k?4 （D）k?5

5．已知函数f(x)?x?bcosx，其中b为常数．那么“b?0”是“f(x)为奇函数”的（ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

6．已知a,b是正数，且满足2?a?2b?4．那么a2?b2的取值范围是（ ）

（A）(4165,5) （B）(45,16)

（C）(1,16) （D）(165,4)

）7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（ ） （A）25 （B）26 （C）27 （D）42 8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A）

221 （B）

463 （C）

121 （D）

263

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知向量a?(1,3)，b?(?2,1)，c?(3,2).若向量c与向量ka?b共线，则实数k? _____． 10．如图，Rt△ABC中，?ACB?90?，AC?3，

BC?4．以AC为直径的圆交AB于点D，则 BD? ；CD?______．

11．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn．若a1?1，a3?4，Sk?63，

则k?______． 12．已知椭圆

x24?y22?1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上．若|PF1|?|PF2|?2，则△PF1F2的

面积是______． 13．已知函数f(x)?sin(2x?是[?12π6)，其中x?[?π6,a]．当a??3时，f(x)的值域是______；若f(x)的值域

,1]，则a的取值范围是______．

14．已知函数f(x)的定义域为R．若?常数c?0，对?x?R，有f(x?c)?f(x?c)，则称函数f(x)具

有性质P．给定下列三个函数：

①f(x)?2； ②f(x)?sinx； ③f(x)?x?x．

其中，具有性质P的函数的序号是______．

x3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在△ABC中，已知3sin2B?1?cos2B． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若BC?2，A?

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，PA?PD，PA?平面PDC，

E为棱PD的中点．

?4，求△ABC的面积．

（Ⅰ）求证：PB// 平面EAC；

（Ⅱ）求证：平面PAD?平面ABCD； （Ⅲ）求二面角E?AC?B的余弦值．

17．（本小题满分13分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件A 元件B [70,76) 8 7 [76,82) 12 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6 18 （Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利

50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?xx?b2，其中b?R．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设b?0．若?x?[,]，使f(x)?1，求b的取值范围．

4413

19．（本小题满分14分）

如图，已知抛物线y2?4x的焦点为F．过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)，

B(x2,y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．

（Ⅰ）求y1y2的值；

（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2.证明：

20．（本小题满分13分）

如图，设A是由n?n个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,3,?,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合．

对于A?S(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令

nnijk1k2为定值．

l(A)??r(A)??ci?1j?1(A)．

（Ⅰ）请写出一个A?S(4,4)，使得l(A)?0； （Ⅱ）是否存在A?S(9,9)，使得l(A)?0？说明理由；

（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A?S(n,n)，求l(A)的取值集合．

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．?1； 10．

1651252013.1

，

12； 11．6；

??,]； 14．①③． 6212．2； 13．[?,1]，[注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解法一：因为3sin2B?1?cos2B， 所以 23sinBcosB?2sinB．?????3分 因为 0?B??， 所以 sinB?0， 从而 tanB?所以 B?π323，????5分

． ??????6分

3sin2B?cos2B?1，所以 2sin(2B??6)?1，即 sin(2B??6)?12解法二： 依题意得

分

．?3

因为 0?B??， 所以 所以 B?π3?6?2B??6?13?6，所以 2B??6?5?6．????5分

． ??????6分

?4（Ⅱ）解法一：因为 A?所以 AC?，B??5?12π3，根据正弦定理得

ACsinB?BCsinA， ???7分

BC?sinBsinA6． ??????8分

因为 C???A?B?5?12， ??????9分

?4?66?42所以 sinC?sin?sin(?)?， ??????11分

所以 △ABC的面积S?12AC?BCsinC?3?23．

??????13分

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