北京市西城区2013届高三数学上学期期末考试试题 文 北师大版

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科）

2013.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项．

1．已知集合A?{x?R|0?x?1}，B?{x?R|(2x?1)(x?1)?0}，则A?B?（ ） （A）(0,)

（C）(??,?1)?(0,) 2．复数

12（B）(,1)

1212（D）(??,?1)?(,1)

125i?（ ） 2?i（B）?1?2i

（C）?1?2i

（D）1?2i

（A）1?2i

3．执行如图所示的程序框图，则输出S?（ ） （A）2 （B）6 （C）15 （D）31

4．函数f(x)?（A）0

1?lnx的零点个数为（ ） x（B）1

（C）2

（D）3

1

5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （A）53 （B）23 （C）5323 （D） 33

????????MB(A，B为切点)，6．过点M(2,0)作圆x?y?1的两条切线MA，则MA?MB?（ ）

2253（A）

2

（B）

5 233（C）

2（D）

3 27．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．则“|q|?（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

2”是“S6?7S2”的（ ）

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

8．已知函数f(x)的定义域为R．若?常数c?0，对?x?R，有f(x?c)?f(x?c)，则称函数f(x)具有性质P．给定下列三个函数：

3 ①f(x)?|x|； ②f(x)?sinx； ③f(x)?x?x．

其中，具有性质P的函数的序号是（ ） （A）①

（B）③

（C）①②

（D）②③

2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知向量a?(1,3)，b?(m,2m?1)．若向量a与b共线，则实数m?______．

10．平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，

则点M取自△ABE内部的概率为______．

x2y2??1的渐近线方程为______；离心率为______． 11．双曲线

3645

12．若函数f(x)??

13．已知函数f(x)?sin(x?)，其中x?[?若f(x)的值域是[?

2a)?f(b)0?}14．设函数f(x)?x?6x?5，集合A?{(a,b)|f(a)?f(b)?0，且f(?log2x,x?0,是奇函数，则g(?8)?______．

?g(x),x?0π6π?

,a]．当a?时，f(x)的值域是______；32

1,1]，则a的取值范围是______． 2．在

直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为______．

3

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2B?cosB?0． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若b?

16．（本小题满分13分）

为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重

7，a?c?5，求△ABC的面积．

50)，第2数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，70]，得到如图所示的频率分55)，第3组[55，60)，第4组[60，65)，第5组[65，组[50，布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数；

（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．

17．（本小题满分14分）

如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AC?BC?CC1?2，M，N分别 为AC，B1C1的中点． （Ⅰ）求线段MN的长；

（Ⅱ）求证：MN// 平面ABB1A1；

（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B?平面MNQ？说明理由．

4

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?x，其中b?R． 2x?b（Ⅰ）若x??1是f(x)的一个极值点，求b的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间． 19．（本小题满分14分）

x2y2如图，A，B是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个顶点．|AB|?5，直线AB的斜

ab率为?1． 2（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l平行于AB，与x,y轴分别交于点M,N，与椭圆相交于C,D．证明：△OCM的面积等于△ODN的面积． 20．（本小题满分13分）

如图，设A是由n?n个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j?1,2,3,?,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij?{1,?1}．记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合．

对于A?S(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令

l(A)??ri(A)??cj(A)．

i?1j?1nn（Ⅰ）对如下数表A?S(4,4)，求l(A)的值；

（Ⅱ）证明：存在A?S(n,n)，使得l(A)?2n?4k，其中k?0,1,2,?,n； （Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A?S(n,n)，证明：l(A)?0．

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