16、17章电磁感应 例题习题

第十六章 电磁感应

例题

例16-1如图所示，一载流螺线管的旁边有一圆形线圈，欲使线圈产生图示方

i 向的感应电流i，下列哪一种情况可以做到？ (A ) 载流螺线管向线圈靠近． (B) 载流螺线管离开线圈．

(C) 载流螺线管中电流增大． (D) 载流螺线管中插入铁芯． [ B ]

例16-2如图所示，一电荷线密度为?的长直带电线(与一正方形线圈共面并与其一对边平行)以变速率v

v =v(t)沿着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R，求t时刻方形线圈中感应电流i((tt) )的大小(不计

线圈自身的自感)．

a a I 解：长直带电线运动相当于电流I?v(t)??． （2分） a ?? 正方形线圈内的磁通量可如下求出 dΦ??02???dxIadx Φ?Ia??0Ia?ln2

2?a?x2?a?x0?0a ?i??dΦdt?iR???0adI2?dt?aln2??02??adv(t)dtln2

i(t)??02?Rdv(t)dtln2

2a a z ??L 例16-3电荷Q均匀分布在半径为a、长为L ( L >>a)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度??绕中心轴线旋转．一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)．若圆筒转速按照???0(1?t/t0)的规律(??0和t0是已知常数)随时间线形地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向． QL解：筒以?旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流??2?，它和通电流螺线管的nI等效．

按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为：

?Q? B?0 (方向沿筒的轴向)

2?L2?0Q?a2筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为： ???aB?

2L22?0Qa?0?0Qad?d??(?)?在单匝线圈中产生感生电动势为 ??? dt2Lt02Ldt感应电流i为i??R??0Qa?02RLt02

i的流向与圆筒转向一致．

例16-4如图所示，一段长度为l的直导线MN，水平放置在载电流为I的

竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t秒末导线两端的电势差UM?UN? ? ； ? 点电势高．

? I M a l N ?0Ig2?tlna?l N a例16-5一内外半径分别为R1, R2的均匀带电平面圆环，电荷面密度为?，其中

心有一半径为r的导体小环(R1 >>r)，二者同心共面如图．设带电圆环以变角速度?????t)绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感应电流i等于多少？方向如何(已知小环的电阻为R＇)？

R2 r ? (t) R1 ??解：带电平面圆环的旋转相当于圆环中通有电流I．在R1与R2之间取半径为R、宽度为dR的环带，

环带内有电流 dI??R?(t)dR dI在圆心O点处产生的磁场 dB?12?0dI./R?1212?0??(t)dR

在中心产生的磁感应强度的大小为 B??0??(t)(R2?R1)

12选逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中 ???i??d????0??(t)(R2?R1)?r

22

dt2dtR?2R?dt方向：当d? (t) /d t >0时，i与选定的正方向相反；否则 i与选定的正方向相同．

????0?r(R2?R1)?2d?(t) i??i?0πr(R2?R1)?d?(t)

??例16-6求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定轴OO＇转动时的B ?动生电动势．已知杆相对于均匀磁场B的方位角为?，杆的角速度为?，转向如图所

O′ ???示．

???解：在距O点为l处的dl线元中的动生电动势为 d???(v?B)?dl?

??? L v??lsin?

???∴???(v?B)?d??LO ?vBsin(L12?)cos?d??

L2???lBsin?d?sin???Bsin????d??012?BLsin?

22??的方向沿着杆指向上端．

例16-7在感应电场中电磁感应定律可写成?EK?dl??L??d?dt，式中EK为感应电场的电场强度．此式

?表明：

? (A) 闭合曲线L上EK处处相等． (B) 感应电场是保守力场．

(C) 感应电场的电场线不是闭合曲线．(D) 不能像对静电场那样引入电势的概念． [ D ]

??例16-8在圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，如图所示．B的大小以速率dB/dt变化．在磁

A C 场中有A、B两点，其间可放直导线AB和弯曲的导线ACB，则 (A) 电动势只在直导线AB中产生． (B) 电动势只在弯曲导线ACB中产生．

(C) 电动势在直导线和弯曲的中都产生，且两者大小相等．

??B?O B (D) 直导线AB中的电动势小于弯曲的导线ACB中的电动势． [ D ] 例16-9两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电流 变化率dI /dt =??>0．一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的感应电动势?，并说明线圈中的感应电动势的方向．

解：(1) 无限长载流直导线在与其相距为r处产生的磁感强度为：B??0I/(2?r) 以顺时针为线圈回路的正方向，与线圈相距较远和较近的导线在线圈中产生的磁通量为：

3d2d I d I d ?1??d?2d?0I2?rdr??0Id2?ln32 Φ2???d?d?0I2?rdr???0Id2?ln2

总磁通量 Φ?Φ1?Φ2??感应电动势为： ???dΦdt??0Idln4

2?3(ln?0d2??d4dI4)?0?ln 3dt2?3 图(1) a a′ b b′ 由? >0，所以??的绕向为顺时针方向，线圈中的感应电流亦是顺时针方向． 例16-10在一个塑料圆筒上紧密地绕有两个完全相同的线圈aa′和

bb′，当线圈aa′和bb′绕制如图(1)时其互感系数为M1，如图(2)

绕制时其互感系数为M2，M1与M2的关系是 (A) M1 = M2 ≠0． (B) M1 = M2 = 0．

a b 图(2) a′ b′ (C) M1 ≠M2，M2 = 0． (D) M1 ≠M2，M2 ≠0． [ D ]

2、对于单匝线圈取自感系数的定义式为L =??/I．当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不变，

且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L (A) 变大，与电流成反比关系． (B) 变小． (C) 不变． (D) 变大，但与电流不成反比关系． [ C ]

习题

16-1将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，则不计

自感时

(A) 铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势． (B) 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小．

(C) 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大．

(D) 两环中感应电动势相等． [ D ] 16-2半径为R的长直螺线管单位长度上密绕有n匝线圈．在管外有一包围着螺线管、面积为S的圆线圈，其平面垂直于螺线管轴线．螺线管中电流i随时间作周期为T的变化，如图所示．求圆线圈中的感生电动势?．画出?─t曲线，注明时间坐标． 解：螺线管中的磁感强度 B??0ni，

通过圆线圈的磁通量 ???0n?R2i．

i Im -Im T/2 3T/4 T/4 ?i t t T T /2 T /4 O T /4 3 T 取圆线圈中感生电动势的正向与螺线管中电流正向相同，有 ?i??在0 < t < T / 4内，

diIm4Imd?dt???0n?R2didt．

dtT/4TT2Im4Imdi在T / 4 < t < 3T / 4内， ， ?i?4π?0nR2Im/T． ????dtT/2TI4Imdi2在3T / 4 < t < T内， ， ?i??4π?0nRIm/T． ?m?dtT/4T??─t曲线如图．

?? ， ?i???0n?R2?4Im??4π?0nRIm/T

2

16-3在一通有电流I的无限长直导线所在平面内，有一半径为r、电阻为R

的导线小环，环中心距直导线为a，如图所示，且a >> r．当直导线的电

I r 流被切断后，沿着导线环流过的电荷约为 a (A) (C)

?0Ir2?R2(21a?1a?r) (B)

?0Ir2?Rlna?ra2

?0Ir2aR (D)

?0Ia2rR [ C ]

16-4如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它 平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求：(1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量?． (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势?．

解：建立坐标系，x处磁感应强度B??0I2?x b ? I a l v ? ；方向向里

I a b l ?v 在x处取微元，高l宽dx，微元中的磁通量： ???Id??B?dS?Bydx?0?dx

2?xx??Φ(t)?B?dS?磁通量：?S?2?r?0I?dx??0I?2?b?vta?vt?dxx??0I?2πlnb?vta?vt

感应电动势???dΦdtt?0??0?Iv(b?a)2?ab

方向：顺时针

16-5在一长直密绕的螺线管中间放一正方形小线圈，若螺线管长1 m，绕了1000

匝，通以电流 I =10cos100?t (SI)，正方形小线圈每边长5 cm，共 100匝，电阻为1 ?，求线圈中感应电流的最大值(正方形线圈的法线方向与螺线管的轴线方向一致，???=4?×10 T·m/A．)

解： n =1000 (匝/m) B??0nI ??a2?B?a2?0nI ???Nd?dt??Na?0n2-7

a

dIdt=?2×10-1 sin 100 ?t (SI)

Im??m/R??2×10-1 A = 0.987 A

16-6如图所示，在一长直导线L中通有电流I，ABCD为一矩形线圈，它与L皆在

纸面内，且AB边与L平行． 矩形线圈在纸面内向右移动时，线圈中感应电动势方向为 ? ；矩形线圈绕AD边旋转，当BC边已离开纸面正向外运动时，线圈中感应动势的方向为 ? ．

ADCBA绕向 ADCBA绕向

16-7金属杆AB以匀速v =2 m/s平行于长直载流导线运动，导线与AB

共面且相互垂直，如图．已知导线载有电流I = 40 A，则此金属杆中的感应电动势?i = ? ； ? 端电势较高．(ln2 = 0.69)

1.11×10-5 V A端 16-8两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b的

?金属杆CD与两导线共面且垂直，相对位置如图．CD杆以速度v平行直

I I C I A D B L C I v A 1 m 1 m B ? v? D 线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断C、D两端哪端电势较高？ 解：建立坐标(如图)则：?B?B1?B2 B1?????0I2?x2?(x?a)??0I?IB??0， B方向⊙

2?(x?a)2?x， B2??0I a a b

I I C 2a O v ? D d??Bvdx??0Iv2?(1x?a?1x)dx

x +dx 2a+b x x

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