例谈巧添辅助线,构造相似三角形 范婷洁

例谈巧添辅助线，构造相似三角形

乳源县乳源中学 范婷洁

内容摘要：相似三角形是近年来中考、竞赛的主要考点之一，是几何、函数知识的连接扭带，是开启综合性探究题的金钥匙；同时它又是学生学习数学的主要难点之一，因此引导学生掌握构造相似三角形的技巧显得尤为重要。本文分别从四边形、圆、抛物线等图形中结合例题进行阐述添加辅助线构造相似三角形的技巧。

关键词：相似三角形 辅助线 构造 技巧

相似三角形是空间与图形中的重要内容，是研究其他图形的重要工具，而具有广泛地应用，它还是证明角相等和求线段长度的重要依据；有关问题也是中考、竞赛的主要考点之一。 近年来的中考数学压轴题、竞赛的解答题中，经常出现以几何、函数知识为背景的探索性问题，特别是有关相似三角形的四边形、圆、抛物线等多方面知识，既考查学生的基本运算能力，又考查了学生识图能力、逻辑推理能力和表达能力。若能巧妙添加辅助线,则往往有助于这类问题的迅速解决。因此，构造相似三角形来解决问题是数学解题中的重要方法，而添加辅助线的目的是“构造”满足条件的图形，即“构造相似三角形”。为此，本文就结合例题谈谈怎样构造相似三角形，并运用其性质解决数学问题。

一、在四边形中构造相似三角形

相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。利用这些性质我们可以轻巧地获得求角的大小、线段的长短、面积的多少、两角的关系等问题的解答途径。但是对于一些相关的题没有相似三角形我们又怎么添加辅助线来获取相似三角形呢？

例1 （广东省2009年初中毕业生学业考试模拟题） 如图1，M为正方形ABCD的边AB上的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N.求证：MN=MD。

分析：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展。这里我们过点N作NO⊥AB于O，构造出

△DAM∽△MON（依据：两角对应相等，两三角形相似）.由ON=AM即相似比为1，进而得到△DAM≌△MON，从而求解．

方法1：过点N作NO⊥AB于O，如图1所示。

∵ 四边形ABCD为正方形 ∴ ∠CBE=∠A= 90° ∴ ∠DMA+∠2=90° ∵ MN⊥DM

∴ ∠DMA+∠1=90° ∴ ∠1=∠2

又∵∠MON=∠A= 90° ∴ △DAM∽△MON 又 M为BC中点 ONAM1??? 0MAD2又∵BN平分∠CBE

1∴ ∠NBO=∠CBE=45°

2∴ ON=OB=MB=AM

ON即 =1

AM∴ △DAM≌△MON ∴ MN=MD

方法2：如图2所示，我们还可以直接取AD的中点F，连结FM。由ASA证得△DFM≌△MBN，进而求解。这种方法更简捷。若将上述条件中的“M为AB上的中点”，改为“M为AB上的任意一点”，其余条件不变，结论“MN=MD”成立吗？如果成立请证明；如果不成立，请说明理由。（做题思路不变，在AD上截取AF=BM，连结FM即可求解。） 小结：本题添加三角形的高、中线为辅助线构造相似三角形，其实几何证明中还常常以三角形的角平分线、中位线为辅助线巧解问题。另外，当题中有角平分线，可向两边作垂线；线段有垂直平分线，引向两端把线连；三角形边两中点，

1

连接则成中位线。

二、在圆中构造相似三角形

在圆中，连结半径直径构造圆周角，作弦心距获取垂径定理，连结弦构造圆内接四边形是常用的辅助线作法。同时也常常运用这些辅助线构造出相似三角形。

例2（广东省2009年初中毕业生学业考试模拟题） 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

分析：本题中，AC、CE是圆的半径，所以CE=AC=3，BE=BC-CE=1；在Rt△ABC中，依勾股定理得AB=5。怎么才能求出问题线段AD？AD=AB-DB。由此可见，要求AD，关键要先求出DB.因此，延长BC交⊙C于F，连结AF、DE，由圆的内接四边形外角等于内对角，获得△DBE∽△FBA（依据：两角对应相等，两三角形相似.），进而求得DB的长。

解：在Rt△ABC中，

∵∠C=90°AC=3，BC=4

依勾股定理得AB= 形。

∴∠1=∠F 又∠B=∠B

∴△DBE∽△FBA DBEB∴ ?FBAB又AC、CE、CF均是圆的半径， ∴CE=AC=CF=3

∴BE=BC-CE=1 BF=BC+CF=7 DB1?? 757即DB=

5718∴AD= AB-DB=5-=

55

2

32?42 =5。

延长BC交⊙C于F，连结AF、DE，则四边形ADEF为⊙C的内接四边

小结：本题先连结DE构造出间接间接问题DB所在的三角形△DBE，再延长BC交⊙C于F，连结AF，得到与△DBE相似的三角形△FBA，再由比例线段求解。

例3 （2005年全国初中数学联赛）如图4，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB。连结OC 交⊙于D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。

分析：本题所给出的已知长的线段AB与问题边AE虽然同在Rt△ABE中，但BE未知，因而不能用勾股定理求解；应设法利用直线与圆的位置、相关性质构建出等量关系，可以通过辅助线将长度已知的线段和待求线段“集中”到一个可解的图形中来，而直径是圆最大弦，它所对的圆周角等于90°；在圆的证明中，如果已知了直径时，我们往往会添加一弦来构造90°的圆周角。为此，连结AD，构造出△CDE∽△CAD、△ADE∽△BDA，进而求解． 解：如图4所示，连结AD. ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° ∵AC为⊙O的切线 ∴∠BAE=90°

即∠BAD+∠1=∠BAD+∠2=90° ∴∠1=∠2

同理∠BAD=∠BEA ∴△ADE∽△BDA

AEAB∴ ① ?DEAD∵OB=OD

∴∠1=∠3=∠2 ∵∠3=∠4 ∴∠2=∠4

又∵∠C为公共角 ∴△CDE∽△CAD CDCA∴ ② ?DEAD∴由①②得AE=CD

CDAC又∵??CD2?CE?AC

CECD∴AE2?CE?AC

3

∵AB=AC=d ∴AE2?d?(d?AE) 设AE为x,则有x2?d(d?x) 解方程x2?dx?d2?0取正根，得

AE?x?5?1d 2小结：本题的图形比较复杂，未知和已知没有明显的联系。只有通过辅助线AD作为桥梁，才能构造出多对相似三角形，仔细观察、认真思考、尝试验证后方可找到可以求解的比例线段。因此，要想熟练、准确地添加辅助线，要在具体情境中带着问题反复尝试，只有不断地训练、总结才能形成技巧。才能知道在圆中遇等积，改等比，横找竖找定相似；不相似，不生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。

三、在抛物线中构造相似三角形

例4 （2005年湖北孝感市中考题）如图5，开口向下的抛物线C：y=a(x-2)(x+3),

25与x轴交于A、B两点，y的最大值为.

8（1） 求实数a的值；

（2） 在抛物线C上是否存在点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出P

点的坐标；若不存在，说明理由。

分析：本题是函数与几何的综合性探究题。第（1）问由抛物线的交点式解析式和函数最大值得出顶点坐标，进而由顶点坐标求得a值。第（2）问是已知结论求条件，对于这类题我们可以把结论当已知条件用。因而可在Rt△ABP中，过点P作PQ⊥AB于Q，由“直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。”构造出△APQ∽△PBQ，再由相关线段的相等关系进而求解。

解：（1）由y=a(x-2)(x+3)可得抛物线与x轴的的交点A、B的坐标分别是（-3，

2?3251250）（2，0），再由对称性和最大值意义得顶点坐标为（，）即（?，），

2288则有

4

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