莆田四中2014届高三上学期第二次月考理科数学试卷
命题者：朱敏煜 审核者：翁建新 2013.11.13
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A?xy?2x，集合B?xy????x,则A?B?( )
?A. ?0,??? B. ?1,??? C. ?0,??? D. ???,??? 2．下列命题中，真命题是（ ） A．?x0?R,ex0?0 B． a?1,b?1是ab?1的充要条件
x2 C．xx?4?0?xx?1?0?(?2,1) D． 命题?x?R,2?x的否定是真命题
2????3. 已知直线l1:x?(a?2)y?2?0,l2:(a?2)x?ay?1?0，则“a??1”是“l1?l2的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2?x3?sinx, ?1?x?14.若f?x???，则?f?x?dx?( )
?1?2, 1?x?2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
225．已知直线x?y?a与圆x?y?2交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OA?OB?OC，
则a的值为（ ） A.?1 B.?2 C.?3 D.?2
??6．若函数y?f?x?的导函数为y?f??x?，且f??x??2cos?2x?区间为( ) A. ?0,???，则y?f?x?在?0,?? 上的单调增6?????2????????????2?? B. C. 和 D. ,?0,,?0,?和?,?? ?????????6??3??6??3??6??3?7.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近垂直，那么此双 曲线的离心率为（ ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．3?15?1 Ｄ． 22理科数学试题 第 1 页 共 8 页
8.已知函数f(x)?x?ax?bx?c，下列结论中错误的是（ ） A．?x0?R，f(x0)?0
B．函数y?f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)?0
9．规定记号“?”表示一种运算，即：a?b?a?2ab?b，设函数f(x)?x?2.关于x的方程为
2232f(x)?lgx?2(x??2) 恰有四个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4，则x1?x2?x3?x4的值是（ ）]
A．?4
B． 4
C．8
D．?8
x2x3x4x201310. 已知函数f?x??1?x?，设F?x??f?x?4?，且函数F(x)的零点均在?????234201322区间?a,b??a?b,a,b?Z?内，圆x?y?b?a的面积的最小值是 ( )
A.? B.2? C.3? D.4?
第II卷（非选择题）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
x2?111. 不等式2?0的解集是 ．
x?x?212. 已知a?b?2，(a?2b)?(a?b)??2，则a与b的夹角为 ． 13. 设AB是椭圆?的长轴，点C在?上,且?CBA?距离为_______.
π.若AB?4,BC?2,则?的两个焦点之间的4?x?y?134?14.已知x、若目标函数z?ax?by (a?0,b?0)的最大值为7,则?的y满足约束条件?x?y??1，
ab?2x?y?2?最小值为 .
????2????15．如右图，在△OAB中，C为OA上的一点，且OC=OA,D是BC的中
3????????????点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上的动点，OP=l1OB+l2OC，
则l1?l2= . 理科数学试题 第 2 页 共 8 页
三．解答题：本大题共6大题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分13分） 设函数f(x)?lg?合B. （Ⅰ）求f(?2??1?的定义域为集合A，函数g(x)??x2?2x?a(0?x?3,a?R)的值域为集 ?x?1?11)?f(?)的值； 20132013（Ⅱ）若A?B??，求实数a的取值范围.
17．（本题满分13分）
已知圆C与两平行直线x?y?0及x?y?4?0都相切，且圆心C在直线x?y?0上， （Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）斜率为2的直线l与圆C相交于A,B两点，O为坐标原点且满足OA?OB，求直线l的方程.
18.（本题满分13分）
右下图是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣为避免混养，用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱．每个小网箱的长为x米，宽为y米。若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米. （Ⅰ）设总造价为W元，试求出W关于x的函数关系式； （Ⅱ）小网箱的长、宽分别为多少米时，可使总造价最低？
19.（本题满分13分）
x2y22如图，椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，x轴被曲线C2:y?x2?b截得的线段长等于C1的短
2ab轴长。C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA,MB分别与C1相交于点D、E。
（Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）求证：MA?MB；
（Ⅲ）记?MAB,?MDE的面积分别为S1、S2，若
理科数学试题 第 3 页 共 8 页
y A E D O B M x S1??，求?的取值范围. S2
20．（本题满分14分）
已知函数f(x)?ax?(a?2)x?lnx.
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点（1,f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当a?0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x1,x2?(0,??),x1?x2，且f(x1)?2x1?f(x2)?2x2恒成立，求a的取值范围.
21．选做题：请在下列三小题中任选两题作答．若三题都做，则按前两题评阅计分．每小题7分，本题共14分．
(1)“选修4-2矩阵与变换” 已知y?f(x)的图象(如图1)经A???c
2?ab??作用后变换为曲线C（如图2）. d?
（I）求矩阵A；
（II）求矩阵A的特征值.
(2)“选修4-4坐标系与参数方程”
5?已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为：
??x?1?3t直线?的参数方程为：?（t为参数）.
y?t??（I）求曲线C1的直角坐标方程；
2?3?2cos2??8?0，
（II）直线?上有一定点P(1,0)，曲线C1与?交于M，N两点，求PM?PN的值.
(3)选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c?R,且
?123???x?x?2对?x?R恒成立，求a?2b?3c的最小值. abc理科数学试题 第 4 页 共 8 页
莆田四中2014届高三上学期第二次月考理科数学试卷参考答案
一．选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合
题目要求的)
题号 选项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C D A C A D D C D A
二．填空题(本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中相应位置横线上) 11. xx??2或?1?x?1或x?1 12.
???3 13.463 14. 7 15. ?
23三．解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤) 16.解：（1） f(x)?lg?由
1?x?2? ?1??lgx?1?x?1?1?x?0得?1?x?1 ?函数f(x)的定义域为A???1,1???????????????2分
x?11?(?x)x?11?x又f(?x)?lg?lg??lg??f(x)? f(x)为奇函数。 ?????????4分
(?x)?11?xx?1?f(11)?f(?)=0 （直接计算得到正确结论同样给分）?????????????6分2013201322（2）函数g(x)??x?2x?a=?(x?1)?1?a在[0,3]上
gmin(x)?g(3)?a?3,gmax(x)?g(1)?a?1 ?B?[a?3,a?1]???????????8分
A?B???a?3?1或a?1??1????????????????????????10分
解得a??2或a?4
?实数a的取值范围为：(??,?2]?[4,??)?????????????????????13分
17．解：（1）由题意知圆C的直径为两平行线 x?y?0及x?y?4?0之间的距离
∴d?2R?0?(?4)2?22 解得R?2，????????????????????3分
2a2设圆心C(a, a）由圆心C到 x?y?0的距离?R?2得a??1，
检验得a?1 ??????????????????????????????????6分∴圆C的方程为(x?1)?(y?1)?2????????????????????????7分
22????????（2）由（1）知圆C过原点，若OA?OB，则l经过圆心，??????????????9分
易得l方程：2x?y?3?0????????????????????????13分
（注：其它解法请参照给分．）
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