8机械波习题思考题[1]

第八章习题

8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后

?，已知振动周期为62.0s，求波长和波速。

解：根据题意，对于A、B两点，????2??1??6，?x?2m

而相位和波长之间又满足这样的关系：????2??1??x2?x1?2????x?2?

代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速u=λ/T=12m/s

8-2． 已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，求: （1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

解：（1）根据题意，距坐标原点O为x1处P点是坐标原点的振动状态传过来的，其O点振动状态传到p点需用

?t?x1x，也就是说t 时刻p处质点的振动状态重复t? 时刻O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状

uux1x??] 波动方程为： 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为：y?Acos[?（t?1）uux1x?）??] uu态相当于t?y?Acos[?（t?（2）若波沿x轴负向传播， O处质点的振动状态相当于t?x1 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为：uy?Acos[?（t?x1）??] u波动方程为：y?Acos[?（t?x1x?）??] uuA点

的

振

动

规

律

为

8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知

y?Acos(2??t??)，试写出：

（1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。

解：（1）仿照上题的思路，根据题意，A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，它的振动是O点传过来的，所

??] 以O点的振动方程为：y?Acos[2??（t?）那么该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t?lulx?）??] uu（2）B点的振动表达式可直接将坐标x=d-l，代入波动方程：

y?Acos[2??（t?

ld?ld?）??]?Acos[2??（t?）??] uuu1

也可以根据B点的振动经过

d时间传给A点的思路来做。 u1s时的波形如图所示，且周期T为2s. 38-4. 已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0

1s时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3， 32?1?????0 所以?0? 将此条件代入，所以：333O点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m

由图形可知： t?（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m

（3）A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：

A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0

由图形可知： t?1s时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2， 3?15?将此条件代入，所以：?????A0 所以?A0??

236A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］

= 0.1cos［πt-5π/6］

可得到：xA?

8-5. 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出： （1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1=? t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ2= 代入振动方程， φ=?（ωｔ＋φ）

7?0.233m 30?3

? 2?3

ω＋φ=

? 25? T=2π/ω=12/5 65?? 则 y=0.5cos（ｔ-）cm

63可得：ω=

2

5?x?（ｔ+）-]cm 6u348m （3）根据已知的T=12/5，u?0.8m/s，可知：??25?x25???3.27rad 那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差：???2??24（2）沿x轴负方向传播，波动表达式：y=0.5cos[

8-6. 一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0?10?3J/(s?m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵ I=wu

I-3-5-3

=9.0×10／300=3×10 J·m u-4-3

wmax=2w=0.6×10 J·m

1212u(2) W=?V?w?d??w?d

44?∴w?=3×10×1π/4×（0.14）×300/300=4.62×10 J

8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?10m，频率??10Hz。若该媒质的密度为

3?43-5

２

-7

800kg/m3，求：

（1）该波的平均能流密度；

（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量。 解：ω=2πγ=2π?10

3?421122u?A2?2??103?800?（10?4）（2??103）22（1） ?1.58?105J（/m2?s）I?（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量 W=ISt?1.58?10

8-8. S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d?5?/4，S2质点的振动比S1超前?2. 设S1的振动方程为y10?Acos5?42?4?10?4?60?3.79?103J

2?t，且媒质无吸收， T（1）写出S1与S2之间的合成波动方程； （2）分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。 解：（1）y1?Acos(?t??10?由题意：φ20-φ10=

2??r1) y2?Acos(?t??20?2??r2)

? 设它们之间的这一点坐标为x，则 23

??2?52?y2?Acos[?t??10??（??x）]?Acos（?t??10?x）

2?4?相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。 合成波为：y?y1?y2?2Acosy1?Acos(?t??10?2?x)

2??xcos2?t T（2） 在S1左侧的点距离S1为x： y1?Acos(?t??10?2??x)

2?52?（??x）]?Acos（?t??10?x） 2?4?tx合成波为：y?y1?y2?2Acos2?（?）

T?2?x) 在S2右侧的点距离S1为x： y1?Acos(?t??10?y2?Acos[?t??10????y2?Acos[?t??10??2?2?52?（x??）]?Acos（?t??10?x） ?4?两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。

8-9. 设S1与S2为两个相干波源，相距

1?波长，S1比S2的位相超前。若两波在在S1、S2连线方向上的强度相42同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？ 解：由题意：φ1-φ2=

? ， r1 2在S1左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， A S1 S2

?φ=?2??1?2?r2?r1????2?2?1/4????? r2 r2 所以A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A 在S2左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， r1

?φ=?2??1?2?r2?r1????2?2??1/4???0

所以A=A1+A2=2A，I=4I0；

8-10. 测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的

频率?，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：u?2?d。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x??2，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d，

4

所以：d??2 那么：??2d

所以波速u????2?d

8-11. 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x?声源，D为声音探测器，如耳干涉仪内有空气，且知声音强置为1.65cm的第二位置时，

?2

相邻波节与波腹的间距：?x??4可得：??4?x?6.6cm

u声音的速度在空气中约为340m/s，所以：????340?5151（hz）。

6.6?10?2根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，

在第二位置有极大值900单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的原因是两个振幅相减（A1-A2=10 ） ，极大值的原因是两个振幅相加（A1+A2=30 ）。 那么A1：A2=2：1 。

8-12. 绳索上的波以波速v?25m/s传播，若绳的两端固定，相距2m，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m，t?0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：

（1）驻波的表示式；

（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x??2，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除

?x端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，

所以??2??4??2?2，v?25m/s，所以波长??1m，

u??50?（hz）。又已知驻波振幅为0.1m， t?0时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为

??，cos（50?t?）关于时间部分的余旋函数应为。 22所以驻波方程为：

y?0.1cos2?xcos（50?t??2）

（2）由合成波的形式为：y?y1?y2?2Acos可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：

2?x?cos2??t

y1?0.05cos（50?t?2?x）

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