【数学】云南省玉溪市第一中学2016届高三上学期期中考试(理)(2)

参考答案

题号 1 答案 A 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D 9 C 10 D 11 A 12 B 13. 0 14. 16? 15. -2 16. 470 17．解：(1) A?C???B,A,B?(0,?)?sin(A?C)?sinB?0

2sinBcosA?sinAcosC?cosAsinC?sin(A?C)?sinB ?cosA?1??A?…………6分 232222(2) a?b?c?2bccosA?a?3?b?a?c?B?22?2

在Rt?ABD中，AD?AB2?BD2?12?(327…………12分 )?2218．(l)证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连结DE、EF、CF． 故EF//11BB1．又CD//BB1.?四边形CDEF为平行四边形，?DE∥CF．又三棱柱22ABC?A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF?平面ABC，?CF?BB1,CF?AB，而AB?DE?平面ABB1A1．

又DE?平面AB．所以平面AB1D?平面D1DE∥CF，，?CF?平面ABB1ABB1?B1，又

ABB1A1．…………………………6分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(3aaa,,0),C(0,a,0),D(0,a,),B1(0,0,a),B(0,0,0) 2223aa3aaa,?,a),AD?(?,,) 22222 得AB1?(?设n?(1,x,y)为平面AB1D的一个法向量．

??n?AB1?(1,x,y)?(??由??n?AD?(1,x,y)?(???

?3aa,?,a)?0,?x??22得，?3aaa?y?,,)?0,?222?6

3,3 23,3

即n?(1,323,) 33显然平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)．

323,)?(0,0,1)|?223则cosm,n?，故m,n?． ?423223221?()?()33|(1,即所求二面角的大小为

? ………………12分 4（此题用射影面积公式也可；传统方法做出二面角的棱，可得?B1AB即为所求） 19.（Ⅰ）解：设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A，“恰好选出

1名语文教师和2名英语教师”为事件A1“恰好选出2名语文教师“为事件A2，”恰好取出3名语文教师”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而

P(A1)273C113C3?,P(A)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,…………3分 234040120C10所以选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

37131++=…………5分 40401201203（Ⅱ）解：由于从10名教师中任选3人的结果为C10，从10名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果数为C3C7k3?kk3?k，那么从10人任选3人，其中恰有k名语文教

7师的概率为P(X=k)= C3C,k=0,1,2,3. 3C10所以随机变量X的分布列是

X P 0 1 2 3 724 2140 740 1 120……10分

X的数学期望EX=0?721719…………12分 ?1??2??3??24404012010 7

?b?1,?3?c20．解：(1)依题意可得??，解得a?2,b?1． ,a2??a2?b2?c2,?x2?y2?1……………………4分 所以，椭圆C的方程是4?x2??y2?1(2)由?4

?x?my?1?得(my?1)2?4y2?4，即(m2?4)y2?2my?3?0 ……………………………6分 设A(x1,y1)，B(x2,y2) 则A'(x1,?y1)．且y1?y2??2m3,yy??．…………………7分 12m2?4m2?4经过点A'(x1,?y1)，B(x2,y2)的直线方程为令y?0，则x?又

y?y1x?x1． ?y2?y1x2?x1x2?x1(x?x)y?x(y?y)xy?xyy1?x1?211112?2112………………9分

y2?y1y1?y2y1?y2x1?my1?1,x2?my2?1．

?当y?0时，

x?(my2?1)y1?(my1?1)y22my1y2?(y1?y2)??y1?y2y1?y2?6m2m?m2?4m2?4?4

2m?2m?4这说明，直线A'B与x轴交于定点(4,0)………………………………………12分

21、解：（Ⅰ）将x??1代入切线方程得y??2， ∴f(?1)?b?a??2，………1分 1?1a(x2?1)?(ax?b)?2x化简得b?a??4. f?(x)?，……………2分22(1?x)f?(?1)?2a?2(b?a)2bb????1，

442解得：a?2,b??2.∴f(x)?2x?2. …………4分 x2?1 8

（Ⅱ）由已知得lnx?2x?2在[1,??)上恒成立， x2?12化简(x2?1)lnx?2x?2，即xlnx?lnx?2x?2?0在[1,??)上恒成立.…………5分 设h(x)?x2lnx?lnx?2x?2，h?(x)?2xlnx?x?1?2， …………6分 x∵x?1 ∴2xlnx?0,x?1?2，即h?(x)?0， x∴h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)?h(1)?0，∴g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立 ……8分

b2?2bb（Ⅲ）∵0?a?b， ∴?1，由（Ⅱ）知有ln?a， ……10分

ba()2?1aa整理得

lnb?lna2alnb?lna2a0?a?b，∴当时，. …………12分 ?2?222b?ab?aa?ba?b2

22.解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）+y2=a2．

∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆； 由l：ρcos（θ﹣

）=，展开为

y﹣3=0．

=a，解得a=1．…………5分

，

，

∴l的直角坐标方程为x+由直线l与圆C相切可得

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+=3cosθ﹣当θ=﹣

sinθ=2

cos（θ+

） ），

时，|OA|+|OB|取得最大值2．…………10分

23、解：（Ⅰ）∵f(x)?|x?5|?|x?3|?x?5?3?x?2，………………………………2分 当且仅当x?[3,5]时取最小值2， ?m?2．………………………………………………5分 （Ⅱ）(122121212?)[1?()]?(?1??)?3，……………………………………7分 a2b2ab229

123?)??(3)2，………………………………………………………………………8分 22ab212∴2?2?2………………………………………………………………10分 ab?( 10

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