2015年江苏高考数学(含答案word版)(3)

解得x??5或x??1． 3综上，原不等式的解集是?xx??5或x???．

??1?3?22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分。

解：以??,?D,??为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系??xyz， 则各点的坐标为??1,0,0?，C?1,1,0?，D?0,2,0?，??0,0,2?．

（1）因为?D?平面???，所以?D是平面???的一个法向量，?D??0,2,0?． 因为?C??1,1,?2?，?D??0,2,?2?．

设平面?CD的法向量为m??x,y,z?，则m??C?0，m??D?0，即?令y?1，解得z?1，x?1．

所以m??1,1,1?是平面?CD的一个法向量． 从而cos?D,m????x?y?2z?0．

2y?2z?0??D?m?Dm?33，所以平面???与平面?CD所成二面角的余弦值为． 33（2）因为?????1,0,2?，设?Q????????,0,2??（0???1）， 又C???0,?1,0?，则CQ?C???Q????,?1,2??，又D???0,?2,2?， 从而cosCQ,D??CQ?D?CQD??1?2?10?2?2．

2t229cosCQ,D??2??2设1?2??t，t??1,3?，则5t?10t?9?15?2010．

9????9?t9?2当且仅当t?92310，即??时，cosCQ,D?的最大值为． 5510?因为y?cosx在?0,???上是减函数，此时直线CQ与D?所成角取得最小值． 2??225． ???55又因为???12?22?5，所以?Q?23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的

推理论证能力，满分10分。 解：（1）f?6??13．

??nn?n?2????,n?6t??23????n?1n?1?n?2?????,n?6t?123?????nn?2?n?2?????,n?6t?23???2（2）当n?6时，f?n???（t???）．

?n?2??n?1?n?,n?6t?3???3??2??n?2??n?n?1?,n?6t?4???3??2??n?2??n?1?n?2?,n?6t?5???3??2?下面用数学归纳法证明： ①当n?6时，f?6??6?2?66??13，结论成立； 23②假设n?k（k?6）时结论成立，那么n?k?1时，Sk?1在Sk的基础上新增加的元素在?1,k?1?，

?2,k?1?，?3,k?1?中产生，分以下情形讨论：

1）若k?1?6t，则k?6?t?1??5，此时有f?k?1??f?k??3?k?2?k?1k?2??3 23??k?1??2?k?1k?1?，结论成立； 23kk??1 232）若k?1?6t?1，则k?6t，此时有f?k?1??f?k??1?k?2???k?1??2??k?1??1??k?1??1，结论成立；

23k?1k?1??2 233）若k?1?6t?2，则k?6t?1，此时有f?k?1??f?k??2?k?2???k?1??2?k?1?k?1??2，结论成立； ?23kk?2??2 234）若k?1?6t?3，则k?6t?2，此时有

f?k?1??f?k??2?k?2???k?1??2??k?1??1?k?1，结论成立；

235）若k?1?6t?4，则k?6t?3，此时有

f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k??2 23k?1?k?1??1，结论成立； ??k?1??2??236）若k?1?6t?5，则k?6t?4，此时有

f?k?1??f?k??1?k?2?kk?1??1 23??k?1??2??k?1??1??k?1??2，结论成立．

23综上所述，结论对满足n?6的自然数n均成立．

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