高等数学(一)期末复习题_56491427334634869(1)(3)

16、（本题满分10分）

解：作平面图形，如图示

??(2?cosx)dx ?(2x?sinx)20

y=2 2 S??20x?y=cosx 0 ? 2?2x ?(2???sin)?0???1 22?17、（本题满分10分）

解：

limf(x)?lim?cosx?1?f(0) ?x?0x?0x?0?limf(x)?lim(x?1)?1?f(0) ?x?0∴f(x) 在x?0 处是连续的。

18、（本题满分10分）

dydy?(1?x)(1?y2)或?(1?x)dx dx1?y212两边求不定积分，得arctany?x?x?C

2解：将原方程化为由y|x?0?1得到C??4

故原方程的特解为arctany?x?19、（本题满分20分）

12?1?x?或y?tan(x?x2?). 2424x2解：A由以[0,a],为底、高为2的曲边梯形和

a以[a，1]为底、1为高的矩形两部分构成.

由切片法可得：

ya2y?x21VA????41a0y2dx???12?(1?a)

a0B?a?0x4dx??(1?a)??(1?104a)， 5oAVB???x2dy ??a2?ydy?12 a?，2a1x令F(a)?VA?VB??(1?41a)?a2?， a?(0,1) 52令44由F?(a)????a????0，驻点为:a?

55又根据问题的实际意义F(a)的最小值存在, ?a?F(a)驻点唯一，或者,又F??(a)4就是F(a)的最小值点. 5a?45???0,?a?4 为极小值点，亦最小值.点，54可见：当a?时，VA?VB达到最小.

520、（本题满分20分）

解：由题意可得张角?与球员距底线的距离x满足 ??arctan106?arctan xx 106?22d?610240?4x2xx ?????dx1?1001?36x2?36x2?100(x2?36)(x2?100)x2x2d??0，得到驻点x??60(不合题意，舍去) 及 x?60. 由实际意义可知 , 所求 令dx?最值存在, 驻点只一个, 故所求结果就是最好的选择. 即该球员应在离底线60米处射门才能获得最大的射门张角。若球员以5.2米每秒的速度跑向球门，则门两米处射门张角的变化率为：

dx??5.2. 在距离球dtd?dt?x?2d?dx? x?2240?16dx??(?5.2)??0.28(弧度/秒)。 dtx?2(4?36)(4?100)21、（本题满分10分）

1xln(1?t)1ln(1?t)dt??xdt，则F(1)?0 解法1设F(x)?f(x)?f()??11xtt1ln(1?)ln(1?x)x??1 F?(x)??1xx2x?F(x)??1f()??x1x1x1lnx1?1?dx??ln2x??ln2x x?2?12令t=1ux解法2

1ln(1?)xxln(1?u)xlnuln(1?t)udt???du???du??du111tuuu

xln(1?t)xln(1?t)xlnt1?f(x)?f()??dt??dt??dt111xttt

??x112x1lntd(lnt)?lnt?ln2x

21222、证明题（本题满分10分）

证明: f(x)在?0,3?上连续，故在?0,2?上连续，且在?0,2?上有最大值M和最小值m，

故m?f(0),f(1),f(2)?M?m?f(0)?f(1)?f(2)?M

3由介值定理得，至少存在一点???0,2?，f(??)f(0?)f?(1f)3? 1(2)f(?)?f(3)?1，且f(x)在??,3?上连续,在??,3?内可导，

由罗尔定理可知，必存在????,3??(0,3)，使得f?????0

使得

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