2011高考数学知识点一本全

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们―局部‖的排列.它主要用于解决―元素相邻问题‖，例如，一般

?m?1m地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m?n)个元素必相邻的排列有Ann?m?1?Amm?m?1Am则是―局部排列‖. 个.其中Ann?m?1是一个―整体排列‖，而

2又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An?An?1?A2.

12

②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An?1n?1?A22.

n?1③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A222n?An?1.

注：①③区别在于①是确定的座位，有A种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决―元素不相邻问题‖.

例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？，当An?m?An?m?1（插空法）

n?mmn – m+1≥m, 即m≤n?1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其

他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用―先特殊后一般‖的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行

mAm种，全排列有An由于要求m个元素次序一定，n种，m(m?n)个元素的全排列有

因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnAmmn种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

m/Am. 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）Ann⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

Cnkn?Cn(k?1)n?CnnAkk24.

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有

C2!?3（平

均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?C18C21082C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺

— 46 — 高中数学知识点精析

序不变，共有多少种排法？有An?mn?m当?An?m?1/Am，

mmn – m+1 ≥m, 即m≤n?1时有意义.

2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）

x1x2x3x4是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12

个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数C.

311注意：若为非负数解的x个数，即用

x1?x2?x3..?.xn?A?a1?1?a2?1?..a.n?1?Aa1,a2,...an中

ai等于

xi?1，有

n?1，进而转化为求a的正整数解的个数为CA . ?n⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都

r包含在内，并且都排在某r个指定位置则有ArrAkn?. ?r例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上：A；不在某一位置上：Am?1n?1mn?Am?1n?1或Amn?1?Am?1?A1m?1n?1（一类是不取

出特殊元素a，有A，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后

mn?1再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元

r素都包含在内 。先C后A策略，排列CrrCnk??rrAkk；组合CrrCkn?. ?rii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列Cn?rkAkk；组合Cn?kr.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrsCnk??rsAkk；组合

CrCn?rsk?s.

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

— 47 — 高中数学知识点精析

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨―小集团‖排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Arr（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以A.

kk2例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C102C84C4/A2?1575.4若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C110C9C8C6C4C2/A2?A4

1222224②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?A

mm例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C210?C8?C5?A3353种.

若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有C210C8C5?A3种

343③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为A/Arr?Amm.

210例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为CC8C4A2244?A3

3

④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为

A?Cn1Cn-2m1mm…Cmn-(mk1?m2?...?mk-1)

210例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为CC8C5?252035若从

.

10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C五、二项式定理.

0n01n?1rn?rrn0n1. ?二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.

110C9C7?1260023展开式具有以下特点： ① 项数：共有n?1项；

012rn② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

— 48 — 高中数学知识点精析

?二项展开式的通项.

（a?b)n展开式中的第r?1项为：Tr?1?Cnran?rbr(0?r?n,r?Z).

?二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项―等距离‖的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．I. 当n是偶数时，中间项是第

n2n?1项，它的二项式系数Cn?122n最大；

II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第

n?1n?1项和第

n?12?1项，它们的二项式系

数C2n?C2n最大.

nn13n?1③系数和：

Cn?Cn???Cn?202401Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2

附：一般来说(ax?by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根．．．．．．．．．．．据性质二求解. 当

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak为T?A?AA?Ak?1k?1?k?ka?1或b?1时，一般采用解不等式组

k?1的系数或系数的绝对值）的办法来求解.

把

?如何来求(a?b?c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r?N,且p?q?r(a?b?c)?[(a?b)?c]n?r?nnnrn?rr视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a?b)C，另一方面在

(a?b)r中含有bq的项为Cn?rqan?r?qbq?Cn?rqapbq，故在(a?b?c)n中含apbqcr的项为

pqrCnCn?rabcq.其系数为CnrCn?qr?n!r!(n?r)!q!(n?r?q)!?(n?r)!?n!r!q!p!?CnCpqrn?pCr.

2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1?a)n?1?na，因为这时展开式的后面部分Cn2a2?Cn3a3???Cnnan很小，可以忽略不计。类似地，有

(1?a)?1?nan但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

— 49 — 高中数学知识点精析

高中数学 知识点精析

（文理通用）

第一部分 集合

1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.

[注] ①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）

（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R?二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.

例：

?x?y?3? 2x?3y?1? 解的集合{(2，1)}.

②点集与数集的交集是?.

（例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?）

4. ①n个元素的子集有2n个.

②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.

5. ? ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

— 1 — 高中数学知识点精析

②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3

?x?1且y?2x = 1或y = 2.

的既不是充分，

x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2又不是必要条件.

?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若x?5，?x?5或x?2.

6.De Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B）

第二部分 函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数. （0，1）?（1，2）??3. 反函数定义：只有满足x??唯一y，函数y?f(x)才有反函数. 例：y?x2无反

函数.

函数y?f(x)的反函数记为x?f系，函数y?f(x)与它的反函数y[注]：一般地，f?1?1(y)，习惯上记为y?f?1?1(x). 在同一坐标

?f(x)的图象关于y?x对称.

?1(x?3)?f(x?3)的反函数. f(x?3)是先f(x)的反函数，在

左移三个单位.f(x?3)是先左移三个单位，在f(x)的反函数.

4. ?单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.

?如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.

?设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数y函数增减性相同.

?一般地，如果函数y?f(x)有反函数，且f(a)?b，那么f?1?f(x)在

?1Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个

(b)?a. 这就

?1是说点（a,b）在函数y?f(x)图象上，那么点（b,a）在函数y?f图象上.

x5. 指数函数：y?a（a?0,a?1），定义域R，值域为（0,??）.

(x)的

— 2 — 高中数学知识点精析

?①当a?1，指数函数：y?a在定义域上为增函数； xy=ax0＜a＜1▲yy=axa＞1x②当0?a?1，指数函数：y?a在定义域上为减函数. 1x?当a?1时，y?a的a值越大，越靠近y轴；

xO当0?a?1时，则相反.

6. 对数函数：如果a（a?0,a?1）的b次幂等于N，就是ab叫做以a为底的N的对数，记作loga其中a叫底数，N叫真数. ?对数运算：

loga(M?N)?loglogloglogaMaa?N，数b就

N?b（a?0,a?1，负数和零没有对数）；

M?logaaN(1)NMnn?logaM?loga??Na?nlog1nM?12)aaM??NlogaMlogN

a换底公式：log推论：log?loga1aN?bloglogbbcNaa?1an?1b?logc?loga2?loga2a3?...?logan?loga1an（以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1） 注?：当a,b?0时，log(a?b)?log(?a)?log(?b). ?：当M取“+”，当n?0时，

是偶数时且M?0时，Mn?0，而M?0，故取“—”.

2例如：logax?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

?y?ax（a?0,a?1）与y?log当a?1时，y?logaax互为反函数.

x的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反.

7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：

f(?x)?f(x)

— 3 — 高中数学知识点精析

设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数. ②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，?奇函数：f(?x)??f(x)

设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x3f(x)f(?x)?1.

在[1,?1)上不是奇函数.

f(x)f(?x)??1.

②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，

y轴对称??y?f（?x）8. 对称变换：①y = f（x）???

x轴对称??y??f（x） ②y =f（x）???原点对称③y =f（x）?????y??f（?x）

9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

（x1?x2）(x1?x2) 2222f(x1)?f(x2)?x1?b?x2?b?2222 xx?b?x1?b在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+

x1?x的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则

B?AB之间的关系是 . 集合A与集合

解：f(x)的值域是故B?A.

11. 常用变换： ①

f(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，

f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?f(x)f(y).

证：

f(x?y)?f(y)f(x)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y)

②

f(xy)?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)

— 4 — 高中数学知识点精析

证：

f(x)?f(xy?y)?f(xy)?f(y)

12. ?熟悉常用函数图象：

|x|例：y?2→|x|关于y轴对称.

▲?1?y????2?▲|x?2|?1??1?y???→y???→

2?2???|x|▲|x?2|

yyy(-2,1)(0,1)xxx

y?|2x2

?2x?1|→|y|关于x轴对称.

▲yx▲

?熟悉分式图象： 例：y?2x?1x?3?2?7x?3?2y定义域{x|x?3,x?R}，

x3值域{y|y?2,y?R}→值域?x前的系数之比.

第三部分 直线和圆

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范

??围是0???180(0????).

?注：①当??90或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，

y轴上的截距分别为

— 5 — 高中数学知识点精析

二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.

附：①圆柱体积：V??r2h（r为半径，h为高） ②圆锥体积：V③锥形体积：V?1313?rh2（r为半径，h为高）

Or2?Sh（S为底面积，h为高）

63aS底?，

34a24. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h?得

34a?2S侧?，

34a 63a?34a?R?213?34a?R?R?13224a/13433?24a?3?64a.

O注：球内切于四面体：VB?ACD??S侧?R?3?S底?R?S底?h

R②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

六. 空间向量.（空间向量部分 文科生不做要求）

1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b?0时，不成立] ②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]

③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（×）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量] （2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?.

（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb.

?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)②空间任一点和不共线三点、B、C，则OP．．．O．．．．．．．A．．．．．四点共面的充要条件.（简证：OP是PABCP、A、?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?B、C四点共面）

注：①②是证明四点共面的常用方法.

— 31 — 高中数学知识点精析

2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存．．．．a,b,c不共面．．．在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p?xa?yb?zc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使

OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1). 其

BA注：设四面体ABCD的三条棱，AB中Q是△BCD的重心，则向量AQ?D?b,AC?c,AD?d,13GM(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证. C3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)a?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)?a1b1?a2b2?a3b3a?b?a1b1?a2b2?a3b3a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)a?a?a21

a?2?a22?a23(用到常用的向量模与向量之间的转化：

a?a?a?a?a?a)

a1b1?a2b2?a3b32a1??cos?a,b????a?b???|a|?|b|?2a2?2a3?2b1?2b2?2b3

②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|.

中平面?,?②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.

— 32 — 高中数学知识点精析

③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使ABAB??CD??CE??CD??CE.（常设

求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相

交）.

第十部分 圆锥曲线 （本部分参考08大纲，部分内容09不做要求） 一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

PFPFPF111?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆?2a?F1F2无轨迹,,

?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段?①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：xaya2222?yb22?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：

?xb22?1(a?b?0).

2②一般方程：Ax程为??x?acos??y?bsin??By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：

2xa22?yb22?1的参数方

（一象限?应是属于0????2）.

?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：F1F2(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：或y??a2?2c,c?a?b22.⑤准线：x??a2cc.⑥离心率：e?xa22ca22(0?e?1).⑦焦点半径：

i. 设P(x0,y0)为椭圆

?yb?1(a?b?0)上的一点，F1,F2PF1?a?ex0, PF2为左、右焦点，则?a?ex0?由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

xb22?ya22?1(a?b?0)PF1?a?ey 上的一点，F1,F2为上、下焦点，则0,PF2?a?ey0?由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：来为―左加右减‖.

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d?2ba22pF1?e(x0?a2c)?a?ex0(x0?0),pF2?e(a2c?x0)?ex0?a(x0?0)▲归结起

y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx(?c,b2a)N和c,是椭圆)的轨(迹ab2 — 33 — 高中数学知识点精析

?共离心率的椭圆系的方程：椭圆

e?ca(c?a?b)22xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率是

ca，方程

2222xa22?yb22?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e?

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ?若P是椭圆：为b2tan?2xa?yb?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积

?2（用余弦定理与

PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

PFPFPF111?PF?PF?PF222?2a?F1F?2a?F1F?2a?F1F222方程为双曲线无轨迹以F1,F2的一个端点的一条射线

?①双曲线标准方程：

Ax?Cy?1(AC?0).

22xa22?yb22?1(a,b?0),ya22?xb22?1(a,b?0). 一般方程：

?①i. 焦点在x轴上：

顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x??xa22a2c 渐近线方程：xa?yb?0或

?yb22?0

a2ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??近线方程：

ya?xb?0c. 渐

或

ya22?xb22?0，参数方程：??x?asec??y?btan?或??x?btan??y?asec? .

ca②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?准线距

2ac2. ④

（两准线的距离）；通径

xa222ba2. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?2ca. ⑥焦点半

径公式：对于双曲线方程双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：

MFMF12?yb22?1（F1,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为

?ex0?a?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a

▲M?FM?F12??ex0?a??ex0?a（与椭圆焦半径不同，椭圆

▲焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） yM'MyF1MxxF1F2 — 34 — M '高中数学知识点精析

F2MFMF12?ey0?a?ey0?a0M?F1??eyM?F2???a?a

??ey0?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.

22222222?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.近线：

xa22xa?yb??与

xa?yb???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐

?yb22?0.

xa22?共渐近线的双曲线系方程：曲线的渐近线为

xa?yb?0?yb22??(??0)的渐近线方程为

xa22xa22?yb22?0如果双

时，它的双曲线方程可设为

12x?yb22??(??0).

▲例如：若双曲线一条渐近线为y?解：令双曲线的方程为：

x22且过p(3,?12)，求双曲线的方程？ 12)y4?y??(??0)，代入(3,?得

x28?y2432?1. 5321x?直线与双曲线的位置关系： FF区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

3区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“?”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

12?若P在双曲线

xa22?yb22?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两

准线的距离比为m︰n.

PF1简证：

d1d2?ePFe2 =

mn.

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程.

3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

— 35 — 高中数学知识点精析

图形 y?2px▲2 y??2px2 ▲x?2pyy2 x??2py2 ▲y▲yyxOxOxOOx 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径 注：①ay2 F(?p2,0) F(0,p2) F(0,?p2p2)F(p2,0)p2 x x??x?p2 y??p2y? x?0,y?Rx?0,y?Rx?R,y?0 yx?R,y?0 轴 轴 （0，0） e?1 PF?p2?x1 PF?2p2?x1 PF?p2?y1 PF?p2?y1 ?by?c?x顶点(4ac?b4a?b2aP2).

②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P2.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④

?x?2pt2y?2px（或x?2py）的参数方程为??y?2pt22（或??x?2pt?y?2pt2）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?ca，当c?0,a?b时）.

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

第十一部分 复数

1. ?复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1. ?复数及其相关概念：

— 36 — 高中数学知识点精析

① 复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b?0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ?两个复数相等的定义：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0. ?两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若z1,z2为复数，则1?若z1?z2实数]

2??0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是

若z1?z2，则z1?z2?0.（√）

?(b?c)?(c?a)22②若a,b,c?C，则(a?b)2(a?b)2?0是a?b?c的必要不充分条件.（当

?i2，

2(b?c)2?1,(c?a)?0时，上式成立）

2. ?复平面内的两点间距离公式：d?z1?z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：

3. 共轭复数的性质：

z?z. z?z0?r（r?0）

，z?z?2bi（z?a + bi）

z1?z2?z1?z222

z?z?2az?z?|z|?|z|

z1?z2?z1?z2 ?z?z?1??1?z?z2?2?

z1?z2?z1?z2（z2?0）

zn?(z)n

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ?①复数的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N?n?)

②对任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

— 37 — 高中数学知识点精析

n③zm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如

11i??1,i?1若由i?(i)2?12?1就会得到?1?1的错误结论.

2424②在实数集成立的|x|?用两边平方法. ?常用的结论：

i??1,inn?124n?1x2. 当x为虚数时，|x|?x2，所以复数集内解方程不能采

?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

i?i?in?2?in?3?0,(n?Z)1?i1?i 立

方

322nn?1n?2i(n?Z虚，??1,?数??,?根?,1，????即?0,??????????0)22?(1?i)??2i,21?i1?i?i,??i若

?是1的

113则 .

5. ?复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①z?R?z?z.

②若z?0，z是纯虚数?z?z?0.

?模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|z|?|z|.

第十二部分 概率与统计（部分内容文科不作要求，请参考文科教材） 一、概率.

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A

n1包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)?mn.

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An).

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张．．．．．．．．．．．．．．．

扑克牌中任取一张抽到―红桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件，因为其中一个不可能互斥同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到―红色牌‖

对立与抽到黑色牌―互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)?P(A)?P(A?A)?1.

— 38 — 高中数学知识点精析

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：―抽到老K‖；B：―抽到红牌‖则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)?452?113,P(B)?2652?12,P(A)?P(B)?126.又事件AB表示―既抽到老K对抽到红牌‖

252?126即―抽到红桃老K或方块老K‖有P(A?B)?，因此有P(A)?P(B)?P(A?B).

推广：若事件A1,A2,?,An相互独立，则P(A1?A2?An)?P(A1)?P(A2)?P(An).

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：P4. 对任何两个事件都有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)

二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则

??a??bn(k)?CnP(1?P)kkn?k.

也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

数，则

f(?)设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,? ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(?简称ξ的分布列.

— 39 — 高中数学知识点精析

?xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，

? x1 p1 x2P p2 … … xi pi … … 有性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ?二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复

kkn?k试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中kP(ξ?k)?Cnpq?0,1,?,n,q?1?p]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n·p），其中n，p为参数，并记Cknpqkn?k?b(k;n?p).

?二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：―??k‖表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k

Ak次试验时事件A发生记为

P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak)，事A不发生记为

Ak,P(Ak)?q，那么

.根据相互独立事件的概率乘法分式：

k?1?qP(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P()Akp(k?1,2,3,?)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

… …

? P 1 q 2 qp 3 qp 2… … p.k qk?1p 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?k?1,2,3?5. ?超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1?n?N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为

P(ξ?k)?CM?CN?MCNnkn?k?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M

件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

?超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件

— 40 — 高中数学知识点精析

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