概率统计第1-5章复习(2013-5-18)

复习1

115,P?B??,P?A?B??, 求P?AB?,P?AB?. 36121151? 解 P?AB??P?A??P?B??P?A?B????361212111? P?AB??P?A??P?AB???31241. 已知P?A??2. 已知P(A)?0.3, P(B)?0.4, P(AB)?0.5, 求P(A?B)。

53.设随机变量X~b(2,p),Y~b(4,p),并且P(X?1)?,求P(Y?1)。

919，求P?X?2?。 27191913?1?P?X?0??1??1?p?，得p?， 解: 由P?X?1??，?27273

4．已知随机变量X~b?3,p?，并且P?X?1??7?1??2?3?1? ?P?X?2??P?X?2??P?X?3??C?????C3????3??3??3?2723235.设随机变量X~????，并且P?X?3??P?X?4?，求E?X?。 解 由P?X?3??P?X?4?，得

?3e??3!??4e??4!，???4，E?X????4。

6．设离散型随机变量X的可能取值为 -1，0，1，3，相应的概率依次为求概率P(X?2)。

1357，，，, 161616167．随机变量X与Y相互独立，下表中给出了X与Y的联合分布的部分数值，请将表中其余未知数值填齐。

Y X y1 y2 y3 P{X= xi} x1 1 81 81 6 x2 P{Y= yj}

8．随机变量X与Y相互独立，下表中给出了X与Y的联合分布的部分数值，请将表中其余未知数值填齐。 X Y 1 2 3 P?Y?yj? 1 111 69181 31 22 91 31 91 61 3 2 2 3 P?X?xi? 9．设随机变量Y服从参数??的概率。

12的指数分布，求关于x的方程x?Yx?2Y?3?0没有实根210．设随机变量X服从[?1,4]上的均匀分布, 求一元二次方程t2?Xt?1?0有实根的概率。

解 而X的概率密度f(x)???1/5,?1?x?4,

0,其它.?22因为当??X?4?0时, t?Xt?1?0有实根, 故所求的概率为

P{X2?4?0}?P{(X?2)?(X??2)}?P{X?2}?P{X??2},

????2f(x)dx???2??f(x)dx??4212dx?。 55211. 设随机变量X在[?3,5]上服从均匀分布, 求一元二次方程t?2Xt?1?0有实根的概率．

12. 设X1,X2是来自正态总体N?20,16?的样本，求E?X1?2X2?，D?X1?2X2?。 解 E?X X20?X?1?2X2??E1?2?E?2??D?X1?2X3??D?X1??4D?X3??80

Y，求E?W?，13. 设X,Y,Z相互独立，X在[0,6]上服从均匀分布，Y~??2?。令W?X?2D?W?。

解 E?W??E?X??2E?Y??3?4??1， D?W??DD?Y?3?8?1。1 ?X??4?14．设 X , Y 是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量，且X~N(-3,1)，Y~N(2,1)，求随机变量Z=X-2Y+7服从什么分布？

15. 给出协方差和相关系数的定义，并解释独立和不相关之间的关系。

16. 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方法来解决。5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。请你用概率的方法来评判“先抽的人要比后抽的人抽到的机会大？”这一论断的是否正确。（需要给出必要步骤）

17. 商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果无次品，便买下了这一箱。否则退回，问(1) 顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。

18. 设甲箱内有7只红球3只黑球，乙箱内有4只红球5只黑球。先从甲箱内任取一球放入乙箱，再从乙箱内任取一球。

（1）求从乙箱内任取的一球为红球的概率；

（2）若从乙箱内任取一球为红球，求从甲箱取出的球也是红球的概率。 解：设A?从甲箱取红球,B?从乙箱取红球,由题意知

????P(A)?0.7, P(A)?0.3 ,P(BA)?0.5, P(BA ,)?0.4（1） 由全概率公式

P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?0.7?0.5?0.3?0.4?0.47

（2） 所求概率为P(AB),由条件概率公式，得

P(AB)P(A)P(BA)0.7?0.535。 P(AB)????P(B)P(B)0.474719. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应，由长期经验知，他们的正品率分别为0.95，0.90，

0.80，三家产品所占比例为2:3:5，将他们的产品混合在一起。 （1）从中任取1件，此件产品为正品的概率； （2）现取1件产品为正品，求它来自甲厂的概率。

20. 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟) X 服从指数为λ=1/5的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数。求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率P{Y≥1}。 21. 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?6e?2x?3y,x?0,y?0, f(x,y)??0,其它.?（1）判断X,Y是否相互独立；（2）求P?Y?X?。

?2e?2x,x?0,?3e?3y,y?0,解 （1）fX(x)?? fY(y)??

?0,其他.?0,其他.Q?x,y,有fX(x)fY(y)?f(x,y)成立, 所以X、Y独立。

（2）P?Y?X???y?x??f?x,y?dxdy??dx?6e?2x?3ydy

00?x ??02e?2x?1?e?3x?dx?3。 522. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?ke?(2x?3y),x?0,y?0f(x,y)??

0，其它?（1）求常数k的值；（2）求（X，Y）的分布函数F(x，y)； （3）判断X与Y是否相互独立；（4）求P(X?2Y?1)。 23. 设随机变量X的概率密度为

0?x?1,?ax,?f?x???x?1,1?x?2,

?0,其它.?（１）求常数a的值； （２）求随机变量X的数学期望E?X?。 解：（１）由1?????f?x?dx??axdx???x?1?dx?011211a?，?a?1 220?x?1,?1x,??f?x???x?1,1?x?2,

?0,其它.?（２）E?X??17372xfxdx?xdx?x?xdx????。 ????????0?13326?12224. 将两封信随机地投入到三个邮筒中去，X表示第一个邮筒中信的个数，Y表示第二个邮筒中信的个数，求(X,Y)的分布律及边缘分布律，并说明X和Y是否相互独立？

25. 一民航机场大巴载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)。(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立) 26. 设随机变量X的概率密度为

?x,?f?x???2?x,?0,?求X的数学期望E(X)和方差D(X)。

0?x?11?x?2其它

复习2

1. 为防止意外, 在矿井内同时安装两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时其有效的概率,

系统A为0.92, 系统B为0.93, 在A失灵的条件下B有效的概率为0.85. 求: (1)B失灵的条件下A有效的概率; (2 )发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率.

解 设A表示“A系统有效”, B表示“B系统有效”. 由题设知P(A)?0.92, P(B)?0.93,

P(B|A)?0.85, 从而

P(AB)?P(B|A)P(A)?0.85?0.08?0.068. P(AB)?P(B)?P(AB)?0.93?0.068?0.862.

（１）在B失灵的条件下A有效的概率为

P(A|B)?P(AB)P(A)?P(AB)0.92?0.862??0.829. ?0.07P(B)P(B) （２）两个报警系统至少有一个有效的概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.92?0.93?0.862?0.988

2. 在电报通讯中不断发出信号0和1, 统计资料表明, 发出0和1的概率分别为0.6和0.4, 由

于存在干扰, 发出0时, 分别以概率0.7和0.1接收到0和1, 以0.2的概率收为模糊信号“x”; 发出1时, 分别以概率0.85和0.05收到1和0, 以概率0.1收到模糊信号“x”.

(1)求收到模糊信号“x”的概率;

(2)当收到模糊信号“x”时, 以译成哪个信号为好？为什么？

解 设Ai表示“发出信号i”(i?0,1), Bi表示“收到信号i”(i?0,1,x). 则

P(A0)?0.6, P(A1)?0.4, P(Bx|A0)?0.2, P(Bx|A1)?0.1.

(1)由全概率公式

P(Bx)?P(Bx|A0)P(A0)?P(Bx|A1)P(A1)

?0.2?0.6?0.1?0.4?0.16.

(2)由贝叶斯公式

P(A0|Bx)?P(Bx|A0)P(A0)0.2?0.6??0.75,

P(Bx)0.16P(A1|Bx)?1?P(A0|Bx)?1?0.75?0.25.

这表明, 当接收到模糊信号“x”时, 译为信号0为好. 3. 设随机变量X~b(2,p), Y~b(4,p), 并且已知P{X?1}?解 X~b(2,p), 且P{X?1}?5, 求P{Y?1}. 95, 而 9P{X?1}?1?P{X?0}?1?(1?p)2,

2所以(1?p)?14?1?, 解得p?, 从而Y~b?4,?, 故 93?3?

65?1?. P{Y?1}?1?P{Y?0}?1??1???81?3?4．设随机变量X的分布函数为

4x??1,?c,?1,x??1,? F(x)??8?ax?b,?1?x?1,?1,x?1,?又已知P{X?1}?1, 试求a,b,c的值. 4解 由F(??)?0, 得c?0. 由F(?1?0)?F(?1), 得b?a?1. 81. 4由P{X?1}?F(1)?F(1?0), 得1?(a?b)?由以上两式可得 a?57,b?. 1616

25.设随机变量X服从[1,6]上的均匀分布, 求一元二次方程t?Xt?1?0有实根的概率.

22解 因为当??X?4?0时, t?Xt?1?0有实根, 故所求的概率为

P{X2?4?0}?P{(X?2)?(X??2)}?P{X?2}?P{X??2},

而X的概率密度

?1?,1?x?6,f(x)??5

?其它.?0,从而

??262P{X?2}??f(x)dx??14dx?, 55P{X??2}???2??f(x)dx?0,

4. 52因此所求概率 P{X?4?0}?6. 设X~N(0,1),（1）求P{X?2};（2）求PX?2;（3）若已知P{X?C}?0.025, 求C.

解 （1）P{X?2}??(2)?0.9772.

（2）PX?2?P{?2?X?2}??(2)??(?2)

??????(2)?[1??(2)]?2?(2)?1

?2?0.9772?1?0.9544.

(3) 由P{X?C}?1?P{X?C}?1??(C)?0.025, 得

?(C)?1?0.025?0.975,

查标准正态分布表得C?1.96.

7．已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?ke?2x?3y,x?0,y?0,f(x,y)??

0,其它.?（1）求常数k的值； (2) 求(X,Y)的分布函数F(x,y)； (3) 求P?X?2Y?1?； （4）求X与Y的边缘概率密度； （5）判断X与Y是否相互独立； （6）问X,Y各服从什么分布？ （7）求E(X),D(X)。

解 （1）利用概率密度的性质

1??得k?6, 从而

?????????f(x,y)dxdy????0???0ke?2x?3ydxdy?k,6

?6e?2x?3y,x?0,y?0, f(x,y)??其它.?0,（2）由定义

xy????6e?2u?3vdvdu,x?0,y?0,f(u,v)dvdu??00?0,其它.?F(x,y)??x???y???(1?e?2x)(1?e?3y),x?0,y?0, ??0,其它.?（3）(X,Y)的取值区域如图3－3所示, 故

P{X?2Y?1}?x?2y?1??f(x,y)dxdy??dx?0?3211?x206e?2x?3ydy

?1?3e?2?4e?0.5135.

8．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?4xy,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??其它．?0,试问X和Y是否相互独立?

解 因为(X,Y)关于X的边缘概率密度

fX(x)??????f(x,y)dy??4xydy?2x, 0?x?1,

01即 fX(x)???2x,0?x?1,

0,其它．?同理可得 fY(y)???2y,0?y?1,

其它．?0,显然, 对任意的实数x,y, 均有f(x,y)?fX(x)fY(y), 故X与Y是相互独立的. 9．已知随机变量X和Y的联合分布律为 Y X ?1 0 0.28 0.22 1 1 2 0.07 0.09 0.15 0.19 分别求U?X?Y, V?XY的分布律.

解 U?X?Y的可能取值为0,1,2,3, 且

P{U ?0}?P{X?Y?0}?P{X?1,Y??1}?0.07,

P{U?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?2,Y??1}?0.28?0.09?0.37, P{U?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.15?0.22?0.37, P{U?3}?P{X?2,Y?1}?0.19.

所以U?X?Y的分布律为 U?X?Y 0 0.07 1 2 3 0.19 pk 0.37 0.37 同理可得V?XY的分布律分别为

V?XY ?2 ?1 0 0.50 1 0.15 2 pk 0.09 0.07 0.19 10．设随机变量X具有概率密度 ?2x,0?x?1, f(x)??其它.?0,随机变量X1,X2,X3,X4相互独立且与X有相同的分布, 试求M?max(X1,X2,X3,X4)的概率密度和P?M?0.5?.

解 X的分布函数为

?0,x?0,FX(x)??x??f(t)dt???x2,0?x?1,

??1,x?1.M?max(X,X41,X2,X34)的分布函数为FM(x)??FX(x)?, 所以M的概率密度为

'3?8x7f,0?x?1,M(x)?FM(x)?4?FX(x)?f(x)???0,其它. 于是 P?M?0.5??1?P(M?0.5)?1?F8M(0.5)?1?0.5?0.996. 111．设随机变量X的概率密度为

f(x)???ax2?bx?c,0?x?1,?0,其它．

已知E(X)?0.5, D(X)?0.15, 求常数a，b，c.

解

???f(x)dx??1(ax2?bx?c)dx?1??03a?12b?c, E(X)??????xf(x)dx??10x(ax2?bx?c)dx?1114a?3b?2c,

E(X2)??????x2f(x)dx??11110x2(ax2?bx?c)dx?5a?4b?3c,

由

?????f(x)dx?1, E(X)?0.5,

E(X2)?D?X???E?X??2?0.4

得

113a?2b?c?1, 14a?13b?12c?0.5, 15a?14b?13c?0.4. 由（1）,（2）,（3）解得a?12, b??12, c?3.

1）2）3） （ （ （ ?102?6．设X1, X2, …, X10是来自正态总体N (0, 0.3) 的样本，求P??Xi?1.44?的概率。 ?i?1?27. 设X,Y相互独立，X~N[-2,4]，Y服从参数??1的指数分布，求E(XY)，D(X-2Y)。 8. 设X1,X2,X3,X4是总体X~N0,?

?2?的样本，求X1?X22X3?2X4的分布。

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