第2章 刚体定轴转动
一、选择题
1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). v ≈15.2 m /s，n2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg·m2 (7). (8).
1212Ma
l?mgl参考解：M＝?dM＝???gm/l?rdr?012?mgl
(9).
?J?mr2??21J?mR
(10). ??3gsin?/l三、计算题
1. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J?12mR2，其中m为圆形平板的质量）
解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为 dM??总摩擦力矩 M?mg?R2?2?r?rdr 23?R0dM??mgR
故平板角加速度 ? =M /J
设停止前转数为n，则转角 ? = 2?n
由 ?02?2???4?Mn/J 可得 n?J?024?M?3R?0/16π?g
2
2. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为
12MR2 R M，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速
m度与时间的关系．
解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程
1
对物体： mg－T ＝ma ① 对滑轮： TR = J? ② 运动学关系： a＝R? ③ 将①、②、③式联立得 a＝mg / (m＋∵ v0＝0，
∴ v＝at＝mgt / (m＋
1212 R MT ?T amgM)
M)
3. 为求一半径R＝50 cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m1＝8 kg的重锤．让重锤从高2 m处由静止落下，测得下落时间t1＝16 s．再用另一质量m2=4 kg的重锤做同样测量，测得下落时间t2＝25 s．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．
解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR－Mf＝Ja / R ① mg－T＝ma ② h＝
12at ③
RT2则将m1、t1代入上述方程组，得
a1＝2h /t1＝0.0156 m / s2 T1＝m1 (g－a1)＝78.3 N J＝(T1R－Mf )R / a1 ④ 将m2、t2代入①、②、③方程组，得
22Tmg
a2＝2h /t2 ＝6.4×103 m / s? T2＝m2(g－a2)＝39.2 N
J = (T2R－Mf)R / a2 ⑤
由④、⑤两式，得 J＝R2(T1－T2) / (a1－a2)＝1.06×103 kg·m2
4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速
-
度成正比，即M＝－k? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间．
21
解：根据转动定律： ?????????????? ???? Jd? / dt = -k?????????????????????????????????????????????????? ∴ 两边积分：
d??1??kJdt
t???0/20?d????kJ0dt
得 ln2 = kt / J ∴ t＝(J ln2) / k
5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为
2
m的砝码，砝码彼此相距l1 (每一砝码离转轴码离转轴为
1212l1),当此人将砝码拉近到距离为l2时(每一砝
l2)，整个系统转速变为n2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中
自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)
解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：
W＝?Ek＝
12(J0?12ml2)4?n2?2?212(J0?12ml1)4?n1
222这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量． (2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒： 2?(J0＋
12ml1) n1 = 2? (J0＋
212ml2) n2
2∴ J0?ml1n1?l2n22?n2?n1?2?22?
22 (3) 将J0代入W式，得 W??mn1n2?l1?l2?
6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
?v0 m O R (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
12MR2
，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒． mv0R＝( ??12MR2＋mR2)?
mv0?1??M?m?R?2?
(2) 设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 Mf??R0r?g??2?rdr＝(2 / 3)???gR＝(2 / 3)?MgR
123
设经过?t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －Mf??t＝0－J?＝－(∴ ? ?t?
3
MR2＋mR2)?＝- mv 0R
mv0R?3mv02?Mgmv0RMf??2/3??MgR
7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧
12L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
1212L L L v0 O 时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)
312v0
解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为
?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L?212mv0L
式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为
221?3?3?1?1??72mL? J???m?L??m?L????3?4?2?4?2??12??因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?212mv0L
∴ ? = 6v0 / (7L)
8. 长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，m l摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．
(2) 细杆摆起的最大角度?．
解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒 得： J? = mv0l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能 ?
12O l?M
12mv0?212J?2
代入J＝Ml，由上述两式可得 M＝3m
3 (2) 由机械能守恒式 ?
12mv0?mgl及
212J?2?12Mgl?1?cos??
并利用(1) 中所求得的关系可得 ??arccos?
31
四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量?ri
2?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对
4
过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为
12mR2，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴
的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．
当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系． 解题：由质心运动定理:?Fr?mdvcdt
因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)
由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?
?RFr?(23mR)2d?dt, 得
???0?32R?gt (2)
由(1),(2)两式可得 ???0?可得 ?0?3vc.2R3vc.?vc2R ??0 , 令 vc?0 ；
这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
5
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