数论专题讲义

数论专题

数论主要分以下几个模块：

1、 数的整除问题 2、 质数合数与分解质因数 3、 约数与倍数 4、 余数问题 5、 奇数与偶数 6、 位值原理 7、 完全平方数 8、 数字谜问题

一、 整除问题

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，

那么这个数能被7、11或13整除.

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

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与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m

为非0整数）；

性质6 如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果 b｜a ，

且d｜c ，那么bd｜ac；

1、 整除判定特征

如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

2、 数的整除性质应用

要使15abc6能被36整除，而且所得的商最小，那么a,b,c分别是多少？

3、 整除综合性问题

已知：23!?258D20C67388849766AB000．则DCB?A?？

二、质数合数与分解质因数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

a3aka2何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n?p1a1?p2其中为?p3???pk质数，a1?a2????ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

1、质数合数的基本概念的应用

如果a，b均为质数，且3a?7b?41，则a?b?______.

2、分解质因数

在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

3、质数合数综合型题目

P是质数，P?10，P?14，P?102都是质数．求P是多少？

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三、约数与倍数

0被排除在约数与倍数之外

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；

21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；

32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

?315例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2；600?315?1?285；

315?285?1?30；285?30?9?15；30?15?2?0；所以1515和600的最大公约数是15．

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各

b个分数的分子的最大公约数b；即为所求．

a①分解质因数的方法；

例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772； ②短除法求最小公倍数；

21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；

32a?b． (a,b)③[a,b]?①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的

35[3,5]15b?最大公约数b；即为所求．例如：[,]?

412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：

两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

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如果m为A、B的最大公约数，且A?ma，B?mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

1A?B?ma?mb?m?mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数○的积；

② 最大公约数是A、B、A?B、A?B及最小公倍数的约数．

两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(a,b)?[a,b]?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5?6?7?210，210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：6?7?8?336，而6,7,8的最小公倍数为336?2?168 性质⑶不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比它们的乘积大”。

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为23?52?7，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：21000?23?3?53?7，所以21000所有约数的和为

(1?2?22?23)(1?3)(1?5?52?53)(1?7)?74880

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

1、基本概念

111得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的723学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 一次考试，参加的学生中有

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2、最大公约数与最小公倍数综合应用

已知m、n两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数，n有10个约数，求m与n的和．

111求满足条件??的a、b的值(a、b都是四位数)．

ab1001

四、余数问题

带余除法的定义及性质

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b)

弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法

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运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234?1898?18922?678967?178902?889923

1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

中国古代趣题

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

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题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5?7?35，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35?2?70是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

2?70?3?21?2?45?k[3,5,7]?233?k[3,5,7]，其中k是从1开始的自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2?70?3?21?2?45?2?[3,5,7]?23得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

1、 带余除法的定义和性质

用某自然数a去除2012，得到商是38，余数是r，求a和r．

2、 三大余数定理的应用

有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

3、 余数综合应用

设20122012的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D?？

4、 中国剩余定理

有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

五、奇数与偶数

奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶

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1、 奇数偶数基本概念及运算性质

能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由

⑴1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 ⑵1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27

2、 奇偶运算性质综合及代数分析法

是否存在自然数a和b，使得ab(a+b)=115?

3、奇偶模型与应用题

试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

4、整数的奇偶性分析法

在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：原来写的三个整数能否为1，3，5？

六、位值原理

位值原理

位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：

abcdef?a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

数的进制

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

1、位置原理

某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；

2、数的进制

(101)2?(1011)2?(11011)2?________；

若(1030)n?140，则n?________．

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七、完全平方数

完全平方数常用性质 主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能整除a。

一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

重点公式回顾：平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)

1、完全平方数基本性质和概念

1234567654321?(1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1)是 的平方． 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

八、数字谜

数字迷加减法

1.个位数字分析法

2.加减法中的进位与错位 3.奇偶性分析法 4.弃九法

数字谜乘除法

数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质

数阵图

1.从整体和局部两种方向入手，单和与总和

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2.区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）

3.在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，

得到关键点上所填数的范围

4.运用已经得到的信息进行尝试（试数） 数字谜问题解题技巧

1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；

2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；

3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；

4.注意结合进位及退位来考虑；

5.有时可运用到数论中的分解质因数等方法．

1、 数字迷

每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？

7x

2、 数阵图数表

将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．

3、 数字谜竞赛选题

请将1～12这12个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现1次，使得每个等式都成立．

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