2017届高三物理二轮复习第三篇高分专项提能：高考大题分层练6：

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高考大题分层练

6.解析几何、函数与导数(B组)

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1.以椭圆C：+=1(a>b>0)的中心O为圆心，

为半径的圆称

为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足

=2，S△OPQ=

S△OFQ.

(1)求椭圆C及其“准圆”的方程.

(2)若椭圆C的“准圆”的一条弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M，N两点，试证明：当

·

=0时，弦ED的长是否为定值，若是，求出

该定值；若不是，请说明理由.

【解析】(1)设椭圆C的左焦点F(-c，0)，c>0，由S△OPQ=又

=2，即a+b=4且b+c=a，所以a=3，b=1，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

S△OFQ得a=c，

则椭圆C的方程为+y=1；椭圆C的“准圆”方程为x+y=4.

(2)设直线ED的方程为y=kx+m(k，m∈R)，且与椭圆C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联列方程组

代入消元得：

(1+3k2)x2+6kmx+3m2

-3=0， 由x1+x2=

；x1x2=

，

可得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=，由·

=0，

得x1x1+y1y2=0，即+

=

=0，

所以m2

=(k2

+1)，

此时Δ=36k2

m2

-4(1+3k2

)(3m2

-3)=27k2

+3>0成立， 则原点O到弦ED的距离d=

=

=

=

，

所以原点O到弦ED的距离为，

则

=2

=

，

故弦ED的长为定值，定值为.

2.已知函数f(x)=lnx-kx+1(k为常数)，函数g(x)=xex

-ln，为常数，且a>0).

(1)若函数f(x)有且只有1个零点，求k的取值的集合. (2)当(1)中的k取最大值时，求证：ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2). 【解析】(1)f′(x)=

，

①当k≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，+≦)单调递增. 而f(ek-2

)=k-2-kek-2

+1=k(1-ek-2

)-1≤-1<0，f(1)=1-k>0，

(a

故f(x)在(e，1)上存在唯一零点，满足题意； ②当k>0时，令f′(x)>0得0

k-2

令f′(x)<0得x>，则f(x)在上单调递减；

若f=0，得k=1，显然满足题意； 若f>0，则0

<0，

又f

=2ln-+1=2

+1，

令h(x)=lnx-x+1，则h′(x)=

，

令h′(x)>0，得x<1，故h(x)在(0，1)上单调递增； 令h′(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+≦)上单调递减； 故h(x)≤h(1)=0，则h=ln-+1<0，

即ln-<-1， 则f

=2ln-+1=2

+1<-1<0.

故f(x)在上有唯一零点，在

上有唯一零点，不符题意综上，k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}. (2)由(1)知，lnx≤x-1，当且仅当x=1时取“=”， 而x+1>1，故ln

则k=1时，ag(x)-2f(x)

.

=axe-aln

x

x

-2lnx+2x-2>

x

axe-ax-2lnx+2x-2=axe-2lnx-2x-2， 记F(x)=axe-2lnx-2x-2， 则F′(x)=(x+1)

xx

=(axe-2)，

x

x

令G(x)=axe-2，则G′(x)=a(x+1)e>0，故G(x)在(0，+≦)上单调递增. 而G(0)=-2<0，G

=2(

-1)>0，故存在x0∈-2=0.

，

使得G(x0)=0，即ax0

则x∈(0，x0)时，G′(x)<0，故F′(x)<0；x∈(x0，+≦)时，G′(x)>0， 故F′(x)>0.

则F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+≦)上单调递增， 故F(x)≥F(x0)=ax0=-2ln=2lna-2ln2.

故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).

-2x0-2lnx0-2=-2(x0+lnx0)=-2ln(x0

)

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