诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
1，填空题。(每题5分，合计30分)
（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为
（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，
f(z)?在C的外部，则积分?dz? 2009?(z??)C
（3）在映射w?z2下，区域w?1， 0?argw??的原像为
（4）函数 w?x2?ixy 在如下范围内可导：
（5）计算积分?(z?i)e?zdz?
0i
（6）函数f(z)?ecosz2在z0?0的泰勒展开式为
z2
2，计算题，(每题5分，合计25分)。
5i12) ii 的值 （1）计算 Ln(? 和
（2）求解方程ch z?1
（3）设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)在复平面上解析，求l，m，n
zdz，其中C:z?2正向 （4）计算积分??zC1sinzz（5）函数 f(z)?3和g(z)?e?1 都有什么奇点？如果是极点，请指出它是
z几阶极点。
3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：
?n2n（1）?nz；
n?1e（2）?enzn。
n?1?i?1d?， 0?p?1。
01?2psin??p215，(本题10分) 计算积分?dz， C:z?2，为正向曲线。 25?(z?1)(z?1)(z?3)C4，(本题10分) 计算积分?2?6， (本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数： （1）f(z)?（2）f(z)?1， 0?z?1?1； 1?z?1???
z(1?z)2ln(1?z)， 0?z?1 z2??7，(本题5分) 计算积分?
0x2dx。 x4?1
1，填空题。(每题5分，合计30分)
（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为
?z?2e
816?2nk?4(n?0,1,2,3)
（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，
f(z)?在C的外部，则积分?dz? 0 2009?(z??)C（3）在映射w?z2下，区域w?1， 0?argw??的原像为
??{zz?1,0?argz?????argz??}
22（4）函数 w?x2?ixy 在如下范围内可导：(0,0) （5）计算积分?(z?i)e?zdz? 1?i?ei
0i
（6）函数f(z)?ezcosz2在z0?0的泰勒展开式为
z61381?z??z?...
22422
2，计算题，(每题5分，合计25分)。
5i12) ii 的值 （1）计算 Ln(? 和
Ln(5?12i)?ln13?iArctan12 5ii?eiLni?ei[lni?i(?2k?)]2??e?(?2k?)2?,n?Z
（2）求解方程ch z?1
chz?cos(iz)?1iz?2k? z??2k?i
（3）设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)在复平面上解析，求l，m，n
u?my2?nx2y,v?x3?lxy2?u?v?2nyx,?2lxy?x?y2nyx?2lxy?n?l?u?v?2my?nx2,???3x2?y?x2my?nx2??3x2?m?0,n??3?m?0,n?l??3（4）计算积分??C
zdz，其中C:z?2正向 z
C的参数方程：z=2ei?(0?z?2?)原式=?2?02?2?2e-i?i?
ied???id??i??2?i0021sinzz（5）函数 f(z)?3和g(z)?e?1 都有什么奇点？如果是极点，请指出它是
z几阶极点。
f(z),0,极点，且m=2。 g(z),1,本性奇点。
3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：
?n2n（1）?nz；
n?1e（2）?enzn。
n?1?i?（）1limnn??n2?1n2?1?limen?eenn????R?e(2)limnen??ni
i?limen??n2?limcosn???n2_isin?n2?1R?14，(本题10分) 计算积分?2?01d?， 0?p?1。 21?2psin??p设z?ei?则sin??原式??pi,z?1??11dz(z?),d??2iziz1dzpz2?(p2?1)iz?p11为不解析点，且?1pipi1z?1piz?piz?pi
??pip2?1Res(f(z),pi)?lim(z?pi)f(z)?lim2?pp2?1?原式?2?iRes(f(z),pi)?5，(本题10分) 计算积分??C1dz， C:z?2，为正向曲线。
(z2?1)5(z?1)(z?3)Res(f(z),?)?0原式??2?i[Res(f(z),3)?Res(（z），f?)] ?2?i?3?1056， (本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数：
（1）f(z)?（2）f(z)?1， 0?z?1?1； 1?z?1??? 2z(1?z)ln(1?z)， 0?z?1 2z(1)0?z?1时1111?n?nf(z)?????z?(n?1)z??z1?z(1?z)2z00z?1时1111?1n?1?n?1n?2f(z)??????()??()11zz(1?）[z(1?）]2z0zz0zzzn(?1)?n?2?nnzn?1(2)原式???(?1) 2znn?1?n
7，(本题5分) 计算积分???0x2dx。 4x?1原式??,存在四个一阶极点??i1x?2x取r?1,以O为圆心，r为半径做圆，考虑上半圆盘D，记边界为02??dx?Lr?[?r,r],z?e4,e在半圆盘内，由留数定理得i3?i4?r2dx1x?2x?i-r??dz1z?2z2?4Lr?2?i[Res(f(z),e)?Res(f(z),ei3?i4)]e4?e2i???4e?i4dz1??Lr21r4?1?rz?2zdzlim??0z??Lr21z?2z且原函数为偶函数?原式=?2i43?i4
原式??,存在四个一阶极点??i1x?2x取r?1,以O为圆心，r为半径做圆，考虑上半圆盘D，记边界为02??dx?Lr?[?r,r],z?e4,e在半圆盘内，由留数定理得i3?i4?r2dx1x?2x?i-r??dz1z?2z2?4Lr?2?i[Res(f(z),e)?Res(f(z),ei3?i4)]e4?e2i???4e?i4dz1??Lr21r4?1?rz?2zdzlim??0z??Lr21z?2z且原函数为偶函数?原式=?2i43?i4
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