统计学习题(大题)

第二章

众数的计算

例：某班50名学生统计学考试成绩分组如下表，要求分别用下限公式和上限公式计算众数。 按考试成绩分组（分） 学生人数（人） 60以下 60—70 70—80 80—90 90以上 合 计 2 12 25 9 2 50 [解法一]：利用下限公式计算众数 ? ∵考分在70-80分这一组出现的学生人数（频数）最多。 ? ∴70-80这一组就是众数组。于是：

? L=70 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10

MO?L??f?f???f?f??i?1?1f?f?1?70?25?12?10?74.48?25?12???25?9?

[解法二]：利用上限公式计算众数

? ∵考分在70-80分这一组的学生人数（频数）出现次数最多。 ? ∴70-80分这一组就是众数组。于是：

? S=80 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10

MO?S??80??f?f???f?f??i?1?1f?f?125?9?10?74.48?25?12???25?9?

中位数的计算

例：某班50名学生统计学考试成绩组距分组资料如下表，要求分别采用下限公式和上限公式计算中位数。 按考试成绩分组学生人数 累计频数 （分） （人）F 向上累计 向下累计 60以下 60—70 70—80 80—90 90以上 合计（∑） 2 12 25 9 2 50 2 14 39 48 50 —— 50 48 36 11 2 —— [解法一]：用下限公式计算中位数（Me） ? 中位数位置=∑F/2=50/2=25 因为：向上累计频数39刚好大于中位数位置25，所以39所在组70-80分这一组就是中位数所在组。于是：L=70 Sm-1=14 fm=25 i=10

Me?L?2?70??F?fmSm?1?i

25?14?10?70?4.4?74.425[解法二]：用上限公式计算中位数（Me） 中位数位置=∑F/2=50/2=25

1

因为：向下累计频数36刚好大于中位数位置25，所以：36所在组70-80分这一组就是中位数所在组。于是：S=80 Sm+1=11 fm=25 i=10

?FM?Sm?1e?S?2f?im

?80?25?1125?10?80?5.6?74.4简单均值的计算

简单均值——主要适用于：“未分组整理的原始数据”的计算。 设：一组数据为：X1 X2 ....XN 或x1 x2?xn 则：简单均值的计算公式为：

?NXi总体均值：

X?X1?X2?...?XN?i?1?NN?XN

?n?...?xi样本均值：

x?x1?x2nn?i?1xn

[例]：已知10名成年人的身高资料如下（单位：厘米）：166 169 172 177 180 170 172 174 168 173

求：这10名成年人的身高的均值。 [解]：这10名成年人的身高的均值

X??XN?166?169?172?177?180?170?172?174?168?17310

?172110?172.1厘米加权均值的计算

单变量分组数据计算均值

即：利用“一个变量”作为“一组”的分组数据，计算“均值”。

Kii总体加权均值：X?X1F1?X2F2?...?XKFKi?1F?F?..............??XF??XF12FK?Ki?F

i?1Fk样本加权均值：x?x1f1?x2f2?....?xkfiik??i?1xff?f?....?fk??xf

12k?i?fi?1f[例]：某车间100名工人日产量数据分组及有关计算如下表，要求计算这100名工人的平均日产量。 按日产量件数分组（件） （X） 工人人数（人) 各组总产量（件）（XF) (F) 20 15 300 22 20 440 24 40 960 26 25 650 合计 （∑） ∑F =100 ∑XF=2350 [解]：100名工人平均日产量为： 2

XF2350?X???23.5 ?F100[例]：某企业青年班组每月奖金分组数据及有关计算如下表，要求计算平均奖金。 月奖金分组 组中值 工人人数（人）F 各组奖金总额 （元） X （元） XF 500—600 600—700 700—800 800—900 900—1000 ∑ 550 650 750 850 950 —— 10 10 30 40 10 100 5500 6500 22500 34000 9500 78000 [解]：该青年班组月平均奖金为 X???XF?F

78000?780（元）100加权均值公式变形后的计算

XFFX??F?XF?????F??X?F X?1?F?F?F?F简单算术均值”是“加权算术均值”的特殊形式。即：当：权数F1=F2=?=FK=F 时，则：

X??XF?XF?...?XF?FF?F?......F11K12KK?F??XN?F??X

N例：某车间100名工人日产量的数据及有关计算如下表，要求计算平均产量。 日产量分组（件） X 各组工人人数比重（%）F/ ∑F X · F/∑F 20 15 3.00 22 20 4.40 24 40 9.60 26 25 6.50 ∑ 100 解：根据表中计算可得，平均日产量如下： 23.50 X??X??23.50F?F

几何均值

例：某厂有4个流水作业车间，。某月它们的产品合格率分别为：98%、97%、95%和90%，则各车间产品的平均合格率为

Gm?498%?97%?95%?90% ?94.95%加权几何平均数的计算

? 适用条件：适用于各变量值出现次数不相同的场合。

3

Gm??? 计算公式为：

NFXF?XF?...?XF12N12NFi??F?Xii?1

例：某市GDP1995-1996两年的的平均发展速度为108%，1997-1998两年的平均发展速度为107.9%，1999年的平均发展速度为107.8%。则该市1995-1999年5年的平均发展速度为：.

G?m5?108%???107.9%???107.8%?

221.?107.9%几何平均数与均值的关系

“几何均值”可以看作是“均值”的一种变形。

X?X?....?X??X1?X2...XN?1 ?lgG??lgX?lgX...?lgX?Gm?N1N12NmN12N?lgGm??lgXN可以看出：几何均值的对数是各变量值对数的算术平均数。

第四章 抽样与抽样分布 样本均值的抽样分布

例2：一个具有n=64个观察值的随机样本抽自于均值等于20，标准差等于16的总体。 （1）给出的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差。（2）描述的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？（3）计算标准正态统计量Z对应于的值。（4）计算标准正态统计量Z对应于的值。 解：（1）样本均值的抽样分布的均值=样本均值的数学期望=总体均值。 即：E?x??μ?20

在重复抽样的情况下，样本均值的方差为总体方差的1/n。即：

σ16??σxn64?4

222（2）因为n?64?30属于大样本，所以根据中心极限定理可知，样本均值的抽样分布近似服从均值为

20，方差为4的正态分布。我的回答是依赖于样本容量的。

（3）当x?15.5时，标准 正态统计量的值：Z?x?μ15.5?20?4.5????2.25

2σn1664x?μ23?203（4）当x?23时，标准正态统计量的值：Z????1.5

σn16642

第五章 参数估计 总体均值区间估计

区间估计例1：（正态总体-方差已知） 某种零件的长度服从正态分布，现从该产品中随机抽取9件，测得其平均长度为21.4厘米。根据以往的经验，该批产品的总体标准差σ=0.15厘米。要求以95%的置信度估计该种零件平均长度的置信区间。 例1解：依题意得：零件长度X→N(μ,0.152)

n=9, x?21.4 , σ=0.15 ， 1-α=0.95， α=0.05

查P434的“标准正态分布表”得出“临界值”为：Zα/2=Z0.05/2=Z0.025=Z1-α/2=Z1-0.025=Z0.975=1.96于是：

抽样平均误差：

??x???n?0.15?0.05 94

抽样极限误差：

????Z??????1.96?0.05?0.098

x2x区间估计例2：（总体分布未知或非正态总体且大样本、总体方差已知） 某财经大学从该校学生中随机抽取100人，调查得到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。又知总体方差为36（分钟)2，试以95%的置信水平估计该财经大学全体学生每天平均参加体育锻炼时间的置信区间。 例2解：由于总体的分布形式未知，且总体方差σ2=36(分钟)2已知，且样本容量n=100>30为“大样本”，故可以近似地认为：总体X服从N(μ，σ2/n),依题意知道：x?26 1???0.95

查表得到：??1.96 ，于是：

Z2366??x??Z?2???x?抽样平均误差：??x?? ???0.6 抽样极限误差：

10n100?1.96?0.6?1.176?区间估计例3：（总体分布未知或非正态总体且大样本、总体方差未知）

在大兴安岭林区，随机抽取了120块面积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林地平均出材量为88（m3)，标准差为10（m3）,试在99%的置信水平下估计大兴安岭林区每公顷地平均出材量的置信区间。 例3解：总体分布形式和总体方差σ2均未知，但由于n=120>30,属于大样本，故可近似地采用正态分布处理，并用样本方差代替总体方差。依题意又知：s?10 ??0.01 1???0.99查标准正态分布表得：

?1???1?0.005?0.995?2.58 ??0.01?0.005Z2Z2ZZ2ZZn??x??Z?2???x?于是抽样平均误差： 抽样极限误差

S10?2.58?0.9129?2.355???0.9129n120（允许误差）

区间估计例4（正态总体、总体方差未知且小样本） 设某上市公司的股票价格服从正态分布，为了掌握该上市公司股票的平均价格情况，现随机抽取了26天的交易价格进行调查，测得平均价格为35元，方差为4(元2)，试以98%的置信度估计该上市公司股票平均交易价格的置信区间。

例5解：因为总体服从正态分布，但n=26<30属于“小样本”，总体方差σ2未知，此时可以用“样本方差S2”近似代替。1-α=0.98 α=0.02 查“t分布表”得出：样本均值x?35 样本方差

??x???t??n?1??t?26?1??t?25??2.4851

20.010.01S4??x??t?2?n?1????x?于是抽样平均误差??x?? ??0.3922 抽样极限误差

n26?2.4581?0.3922?0.964s2?4

总体比率的区间估计

某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%

的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。

p?65?65% 100样本比率的抽样平均误差：

例6解：依题意： n=100，p＝65% , 1-?= 95%，Z?/2=1.96

??p??p???样本比率的抽样极限误差

总体方差区间估计

?Z?2p?1?p?0.65?0.35??0.0477 n100???p??1.96?0.0477

?0.0935或9.35%某生产车间生产了一批零件，现从中随机抽取100个零件调查其长度（单位：mm），测得其标准差为0.08mm，

试以95%的置信度估计该批零件标准差的置信区间。 解：因为：n=100>30属于“大样本”，所以“样本标准差S”近似服从“正态分布”。 又知：S=0.08 1-α=0.95,α=0.05 查表得：Zα/2=Z0.025=Z1-α/2=Z0.975=1.96

某自动车床加工的某种零件长度X，X→N(μ ,σ2)，现随机抽查16个零件，测得其方差为0.00244(mm)2，试以

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