A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

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手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形：

例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD，证明 （1）?ABE??DBC (2)AE?DC

(3)AE与DC之间的夹角为60? (4)?AGB??DFB (5)?EGB??CFB (6)BH平分?AHC (7)GF//AC

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变式精练1：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD， 证明（1）?ABE??DBC （2）AE?DC

（3）AE与DC之间的夹角为60?

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分?AHC

变式精练2：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD， 证明（1）?ABE??DBC (2）AE?DC

(3）AE与DC之间的夹角为60?

(4）AE与DC的交点设为H,BH平分?AHC

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例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分?AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分?AHE？

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例4：两个等腰三角形?ABD与?BCE，其中AB?BD,CB?EB,?ABD??CBE??,连结AE与CD， 问：（1）?ABE??DBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分?AHC？

例5：如图，点A. B. C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

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倍长与中点有关的线段

倍长中线类

?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

A A

△ABC中 方式1： 延长AD到E，

AD是BC边中线 使DE=AD，

连接BE BCBCD D

E

方式2：间接倍长

A A 作CF⊥AD于F， 延长MD到N，

F 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， M连接BE 连接CD CBDDCB

EN1【例1】 已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?(AB?AC)．

2ABMC

AC?9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？ 【练1】在△ABC中，AB?5，

【练2】如图所示，在?ABC的AB边上取两点E、F，使AE?BF，连接CE、CF，求证：

． AC?BC?EC?FC2015－2016学年第一学期 初二初学·学生版 page 5 of 5

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CAEFB

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】 如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF?EF，

求证：AC?BE．

AFEBDC

【练1】如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE?AC，延长BE交AC于

F，求证：AF?EF

CDEABF

【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G. 求证：BF=CG.

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【练3】如图，在?ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG?CF，求证：AD为?ABC的角平分线．

CDAGFBE

【练4】如图所示，已知?ABC中，AD平分?BAC，E、F分别在BD、AD上．DE?CD，EF?AC．

求证：EF∥AB

AFBEDC

【例3】已知AM为?ABC的中线，?AMB，?AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE?CF?EF．

CFM

【练1】在Rt?ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足?DFE?90?．若AD?3，BE?4，则线段DE的长度为_________．

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AEB

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ADFCEB

【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______.

【练3】在?ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD?ND．

（1）若?A?90?，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

1（2）如果BM2?CN2?DM2?DN2，求证AD2??AB2?AC2?．

4AMBNDC

【例4】如图，等腰直角?ABC与等腰直角?BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.（证角相等方法）

【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.

探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）

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【练2】如图，在?ABC中，CD?AB，?BAD??BDA，AE是BD边的中线.求证：AC?2AE

【例5】如图所示，在?ABC中，AB?AC，延长AB到D，使BD?AB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD?2EC．

AEBCD【练1】已知?ABC中，AB?AC，BD为AB的延长线，且BD?AB，CE为?ABC的AB边上的中线．

求证：CD?2CE

C

AEBD

【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.

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【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q. 探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）

【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转?度数（??90?），其他条件不变，上述结

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论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在

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许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，?全等)

【例10】 如图所示，?ABC中，?C?90,?B?45，AD平分?BAC交BC于D。求证：AB=AC+CD。

0【练1】如图所示，在?ABC中，?B?60，?ABC的角平分线AD、

00ACAEDBCE相交于点O。求证：AE+CD=AC。

?OBDC【练2】已知?ABC中，?A?60，BD、CE分别平分?ABC和?ACB，BD、CE交于点O，试判断

BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A EDO

BC

【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.

【练3】已知：如图,在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。

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求证：BC=AB+AD.

【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠

AMDN=60°，求证MN=MB+NC．

N M

B

D

【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）

【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求证：∠DBC＝

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C1∠BAC． 2

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【例12】如图所示，已知?1??2，P为BN上一点，且PD?BC于D，AB+BC=2BD，求证：

?BAP??BCP?1800。

【练1】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA, AD＝CD，BD平分?ABC， 求证： ?A??C?180

B0MAB12PNCDCADC【例13】如图所示，在Rt?ABC中，AB=AC，?BAC?90，?ABD??CBD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。

E

C

【练1】已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．

0ADB2015－2016学年第一学期 初二初学·学生版 page 14 of 14

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【练2】如图所示，在?ABC中，?ABC?90，AD为?BAC的平分线，?C=300，BE?AD于E点，求证：AC-AB=2BE。 A E CDB

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE?EF,交∠DCH的平分线于点F，求证AE=EF

【练4】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

A D

BC FE

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0

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【例14】如图所示，已知AB//CD，?ABC,?BCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。

A B E DC

【练1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

P CE

ADB

【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．

【练3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．

【练4】如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系

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【练5】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

A

D BCE F

【例15】如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC A 12

P B C D

【练1】已知AM为?ABC的中线，?AMB，?AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F． 求证：BE?CF?EF．

AEFBMC

如图，E是?AOB的平分线上一点，EC?OA，ED?OB，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD； （2）DF=CF。

O

ACFDEB2015－2016学年第一学期 初二初学·学生版 page 17 of 17

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构造等边三角形

1、如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.

2、在等腰?ABC中，AB?AC，顶角?A?20?，在边AB上取点D，使AD?BC，求?BDC.

AD

BC

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练习1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于 A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm

练习2、在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：

?ABC??A'B'C'.

A A'

（倍长中线） B' C B D' D

练习3、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C

C'

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练习4、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E （1）试说明：BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．

如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，有过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE＝BD－CE．（思路：截长补短法）

如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60°.（截长补短）

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1、如图，等腰直角?ABC与等腰直角?BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）

2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转?度数（??90?），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

3、已知AM为?ABC的中线，?AMB，?AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F． 求证：BE?CF?EF．（辅助线的连法都一样） A

E

BM

FC2015－2016学年第一学期 初二初学·学生版 page 21 of 21

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【阅读理解】

已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS） ∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形． ∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD． 【解决问题】

已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为 ．

【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想． 【类比猜想】

任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．

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如图,已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

（1）求证：AM平分∠DAB

（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？

（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。

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