第六章 时变电磁场典型例题

第六章 时变电磁场

6.1 在z?3m的平面内，长度l?0.5m的导线沿x轴方向排列。当该导线以

???????速度v?ex2?ey4ms??????????2在磁感应强度B?ex3xz?ey6?ez3xz2T的磁场中移动时，求

感应电动势。

解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ?in??????(v?B)?dl

根据已知条件，得

?????????????????2 (v?B)|z?3?(ex2?ey4)?(ex3xz?ey6?ez3xz2)|z?3 ???????? ??ex108x?ey54x?ez(12?36x2)

???? dl?exdx

故感应电动势为 ?in??0.50???????????2[?ex108x?ey54x?ez(12?36x)]?exdx??13.5V

6.2 长度为l的细导体棒位于xy平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒

?定磁场B?ezB0中以角速度?旋转时，求导体棒中的感应电动势。

解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即

?in??(v?b)?dl

根据已知条件，导体棒上任意半径r处的速度为

??? v?e?r? ?? dl?erdr

故感应电动势为

?in???????L12??(v?b)?dl??(e?r??ezB0)?erdr??B0?rdr?B0?lV0002ll

6.3 试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。

??解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E

79

??和磁感应强度B的关系，

?????????????将H?B?,D??E,J??E代入即可，注意在非均匀媒质中?,?,?是空间坐标的

函数。

考察麦克斯韦第一方程，有

???????1??B1 ??H????(?)?B???B???

??1?2??1?????B???B

????????D???E ?J??J???t?t

所以

?????????E???B ??B??J?????t?????????而 ??D???(?E)?E???????E??

，于是，微分形式的麦克斯韦方程

用E和B表示为

?????????E???B? ??B??J????t?????

?????B ??E???t

?? ??B?0

???? ???E????E??

??对于无耗媒质，??0，因此有J?0。

????6.4 试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程??J???t????????D 解：对麦克斯韦第一方程??H?J?两边取散度，得

?t。

80

????????D ??(??H)???J????0?t

又因为??D??，所以

??????J???t??

6.5 设真空中电荷量为q的点电荷以速度v(v?c)向正z方向匀速运动，在

t?0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。

解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为(0,0,vt)，且产生的场强与角度?无关，如习题所示。设P(r,?,z)为空间任一点，则点电荷在P点产生的电场强度为

?? E???qR4??0R3

??其中R为点电荷到P点的位置矢量，即

?????? R?err?ez(z?vt)

????????D?E那么，由Jd???0?t?t，得

3qrv(z?vt)5????? Jd?er??qv[2(z?vt)2?r2]?ez 54?[r?(z?vt)]2224?[r?(z?vt)]222

81

0z r P(r,?,z) ??R x0 6.6 已知自由空间的磁场为

??????H?eyH0cos(?t?kz)A/m

式中的H0、?、k为常数，试求位移电流密度和电场强度。

解： 随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度

??J?0，故由麦克斯韦第一方程得

??????????????Hy????????Jd???H??ex??ex[H0cos(?t?kz)]

?z?z??????? ??exkH0sin(?t?kz)A/m2

??????D而Jd??t，故

??D?????????????????kH20cos(?t?kz)C/m ?Jdt??exkH0sin(?t?kz)dt?ex?则

???????????kH0DE??excos(?t?kz)V/m

?0??06.7 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。 解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有 ??E?0,??D??

即

???DdV??D?dS?VS?V?dV?q

根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷q有?E?4?r2?q，所以距离该点电荷r处的电场强度为

E?erq4?r?2

静电场为无旋场，因此有E????，则

??D????E???????????2???

82

所以有

????2??

即泊松方程。

6.8 由麦克斯韦方程组出发，导出毕奥-萨伐尔定律。 解： 由麦克斯韦方程组，有

?????????H?J ??B?0

因为矢量的旋度取散度为零，故可令

????B???A

??在库仑规范下，??A?0，因而

??????2??(??A)??(??A)??A?

?????????B????H??J即

?????A???J

2由?2?????的解为

??14????????Jrd?

可得

???A?4???d?

对于线电流

???IA?4????dlrc

于是

?????B??1IH????A???4??erII?()?dl???24?cr4????c?(r)?dl??dl?er1c

??r26.9 如图所示，同轴电缆的内导体半径a?1mm，外导体内半径b?4mm，

83

内、外导体间为空气介质，且电场强度为

??1008 E?ercos(10t?0.5z)V/mr???（1）求磁场强度H的表达式

（2）求内导体表面的电流密度； （3）计算0?Z?1m中的位移电流。

z aa b r

??解： （1）将E表示为复数形式，有

??100?j0.5zE(r,z)?erer

由复数形式的麦克斯韦方程，得

???H??1j??0????E??????E???0.398?j0.5zre??e?eA/Mj??0?zr1

???磁场H的瞬时表达式为

???0.3988H(r,z,t)?ercos(10t?0.5)A/mr

（2）内导体表面的电流密度

?????? Js?n?H????er?Hr?a8r?a?

2ez397.9cos(10t?0.5)A/m

84

(3) 位移电流密度

Jd??0???E?t??er8.854?10r?2sin(10t?0.5)A/m82

所以0?Z?1m中的位移电流

id??S?????Jd?dS??10???Jd?er2?rdz?

8?0.55sin(10t?0.25)A

6.10试由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程和电流连续性方程，导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。

解：本题的结果表明麦克斯韦方程组的相容性，而导出此结果的关键在于灵活应用矢量分析的基本关系式。

对方程??H?J??D?t两边取散度，得

?D?t??t ??(??H)???(J?而电流连续性方程

)???J?(??D)

??J?矢量恒等式

???t?0

??(??H)?0 故得

??t(??D)????t?0

即

??t(??D??)?0

可见，(??D??)是一个与时间无关的常量。若取t?0时，该常量为零，则

t?0的任何时刻， ??D???0皆满足需要。故得

??D?? ?B?t同样，对方程??E?

两边取散度，得

85

??(??E)?????B?t????t(??B)?0

故得

??B?0

6.11 如图所示，两种理想介质，介电常数分别为?1和?2，分界面上没有自由电荷。在分界面上，静电场电力线在介质1,2中与分界面法线的夹角分别为?1和

?2。求?1和?2之间的关系。

解：利用D和E的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。

设D1和D2分别为介质1,2中电通量密度。E1，E2分别为介质1,2中电场强度。在各向同性介质中，D和E具有相同的方向。由边界条件D1n?D2n和

E1t?E2t，得

D1,E1?1?2?1?2 D2,E2E1tD1n?E2tD2n

而根据图可知

D1n?D1cos?1 E1t?E1sin?1 D2n?D2cos?2 E2t?E2sin?2

86

则得

6.12 写出在空气和???的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解：空气和理想导体分界面的边界条件为

n?E?0n?H?Jstan?1tan?2??1?2??r1?0?r2?0??r1?r2

根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式

E?H,H??E,Js?Jms

即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件

n?H?0n?E?Jsm

式中，Jsm为表面磁流密度。

6.13 在由理想导电壁(r??)限定的区域0?x?a内存在一个由以下各式表示的电磁场：

Ey?H0??(aa)sin(?xa?)sin(kz??t) Hx?H0k()sin(?Hz?H0cos(?xa)sin(kz??t)

?xa)cos(kz??t)这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？ 解：应用理想导体的边界条件可以得出

在x?0处，Ey?0，Hx?0 Hz?H0cos(kz??t) 在x?a处，Ey?0，Hx?0

87

Hz??H0cos(kz??t)

上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量Hx。

另外，在x?0的表面上，电流密度为

Js?n?H|x?0?ex?(exHx?ezHz)|x?0

?ex?ezHz|x?0??eyH0cos(kz??t) 在x?a的表面上，电流密度则为

Js?n?H|x?a??ex?(exHx?ezHz)|x?a

??ex?ezHz|x?a??eyH0cos(kz??t) 6.14 设电场强度和磁场强度分别为

E?E0cos(?t??e)H?H0cos(?t??m)

证明其坡印廷矢量的平均值为

Sav?12E0?H0cos(?e??m)

证明：坡印廷矢量的瞬时值为

S?E?H?E0cos(?t??e)?H0cos(?t??m)

? ?1212E0?H0[cos(?t??e??t??m)?cos(?t??e??t??m)]E0?H0[cos(2?t??e??m)?cos(?e??m)]

故平均坡印廷矢量为

Sav?1T12?T0Sdt?1T?T120E0?H0[cos(2?t??e??m)?cos(?e??m)]dt

?

E0?H0cos(?e??m)

6.15 一个真空中存在的电磁场为

????????E?exjE0sinkz

88

??????H?ey?0????0E0coskz

其中k?2?/???/c是波长。求z?0，?/8，?/4各点的坡印廷矢量的瞬时值和平均值。

解：

???????????????j?tE(z,t)?Re[eXjE0sin(kz)e]?eXE0sin(kz)cos(??t)2

??????H(z,t)?Re[ey?0????0E0cos(kz)ej?t???]?ey?0????0E0cos(kz)cos(?t)

坡印廷矢量的瞬时值为

?????????1S(z,t)?E(z,t)?H(z,t)??ez4??0???2Esin2kzsin2?t

?00故当Z?0时，有

??S(0,t)?0

当Z??08时，有

??????????E20S(0,t)??eX84?0?0sin2?t

当Z??04时，有

???S(0,t)?0 4任一点的坡印廷矢量的平均值为

??1SSV?T?T0??1Sdt?ez4??0???2?0Esin2kz01T?T0sin2?tdt?0

6.16 写出存在电荷?和电流密度J的无耗媒质中的E和H的波动方程的瞬时值形式

解： 由麦克斯韦方程的微分形式 ??H?J???E?t （1）

89

??E????H?t （2）

??H?0 （3）

??E?1?（4） ?

由式（1）两边取旋度，得

??(??H)???J????t(??E)

利用矢量恒等式，

??(??H)???H??(??H)

2所以

?H??(??H)????J??2??t(??E)

将式（2）和式（3）代入上

?H????J??2??t(???H?t)

故得

?H???2?H?t22????J （5）

同理可得

?E???2?E?t22???J?t?1??? （6）

式（5）式（6）则为所求的有源空间中E和H所满足的波动方程，是非齐次波动方程。

6.17 在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹规范条件，而是采用库仑规范条件，即令??A?0，导出A和?所满足的微分方程。

解： 将电磁位定义代入麦克斯韦方程，利用?算子的二阶运算恒等式将所

得式子简化，然后引入库仑规范条件就可得到A和?所满足的方程即

B???A

90

E??????A?t

代入麦克斯韦方程，

?D??H?J??t

得

??H?1??(??A)?J???EA??t?J????t(??????t)

由恒等式

????A??(??A)??2A

于是有

2?(??A)??2A??J????(??2?t)????A?t2 又将电磁矢量位和标量位代入

??D??

得

??E???(?????A??t)??

即

?2????t??A???? 令??A?0代入（1）和（2）得

22?2A????A?t2???J???????t ?2????? （3）和（4）式即为在库仑规范条件下的电磁位所满足的微分方程。

91

1）2）3）4）（

（

（

（

6.18 海水的电导率??4Sm，在频率f?1GHz时的相对介电常数?r?81。如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，

7?r?1,??5.7?10Sm，比较在f?1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以

看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。

解：对于海水，写出H的微分方程为

??H?J?j?D??E?j??E?j?(??j??)E

即把海水视为等效介电常数为?c???j代入给定的参数得

10?9??的电介质。

??H?j2??10(81?936??j42??109)E

?j(4.5?j4)E?(4?j4.5)E

对于铜，传导电流的幅度为?E，位移电流的幅度??E。故位移电流与传导电流的幅度之比为

1????2?f?r?02?f???36?75.7?10?10?9?9.75?10?13f

可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，

H的微分方程为

??H??E?5.7?10E

7 92

6.19 给定标量位??x?ct及矢量位A?ex(?t)，式中c?cx1?0?0。

（1） 试证明：??A???0?0???t；

（2） 求B、H、E和D；

（3） 证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。

解：（1） ??A??Ax?x??(x?t)?1c??xc?0?0

???t???t(x?ct)??c??1?0?0

故

???t1??0?0???0?0(??0?0)??0?0

则

??A???0?0???t

（2） B???A?ey?Ax?z?ez?Ax?y?0

H?B?0?0

而

?A?t???x?x E???????ex?ex?tc(?t)

93

??ex??t(x?ct)?ex?0

D??0E?0

（3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。

6.20 无源、无损耗媒质中的电场矢量为

E(x,z,t)?eyEmcos(?t?kxx?kzz)Vm

（1） 求与E相伴的磁场矢量H(x,z,t)；

（2） 讨论E、H存在的必要条件。

解：维系电场和磁场是麦克斯韦方程，求解就从麦克斯韦方程入手。在无源（J?0,??0）、无损耗媒质（??0）中，麦克斯韦方程为

??H???E?t

??E????H?t

??H?0 ??E?0

（1） 由??E????H?t1?H?t得

1?Ey?z?Ey?x???1??E???(?ex?ez)

???[?ex??z(Emcos(?t?kxx?kzz))?ez??x(Emcos(?t?kxx?kzz))]

?1?[exkzEmsin(?t?kxx?kzz)?ezkxEmsin(?t?kxx?kzz)]

将上式对时间t积分，得

94

H(x,z,t)?1??[?exkzEmcos(?t?kxx?kzz)?ezkxEmcos(?t?kxx?kzz)]

（2） 要使H、E作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在，表示式中

的相关参数?、kx、kz和媒质参数?、?必须满足一定的关系。将求出的H代入??H???E?t1?E?t1得

?Hx?z?Hz?x????H??2ey(?)

?eyEm???[?kzsin(?t?kxx?kzz)?kxsin(?t?kxx?kzz)]

2将上式对时间t积分得

E?eyEm?1(kx?kz)cos(?t?kxx?kzz)

22????可见，欲使得出的H、E矢量作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在的必要条件为

????(k?k)?k

xz2222

95

96

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