广西桂林十八中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷(文科)(3)

解答： 解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得 a1+9d=﹣9，a1+2d=5 解得d=﹣2，a1=9，

数列{an}的通项公式为an=11﹣2n （2）由（1）知Sn=na1+

2

d=10n﹣n．

2

因为Sn=﹣（n﹣5）+25． 所以n=5时，Sn取得最大值．

点评： 数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性． 18．（12分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在 ∴O是AC的中点， ∵M是EF的中点， ∴CO∥MF，CO=MF

∴四边形OCMF是平行四边形． ∴CM∥OF

∵CM?平面BDF，OF?平面BDF ∴CM∥平面BDF

（2）∵平面ACEF⊥平面ABCD 正方形对角线AC⊥BD ∴OD⊥平面ACEF

同理可得：OB是四棱锥B﹣ACEF的高

进一步可证：AF是三棱锥F﹣ABD的高，EC是三棱锥E﹣CBD的高 在正方形ABCD中，AC=BD=2 ∴OD=OB=1

V四面体DEFB=V四棱锥D﹣ACEF+V四棱锥B﹣ACEF﹣V三棱锥F﹣ABD﹣V三棱锥E﹣CBD ==

﹣

）

点评： 本题考查的知识要点：线面平行的判定，面面垂直的性质定理，以及分割法在体积运算公式中的运算．

20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=的面积为

．

，b=3，△ABC

（1）求边c的长； （2）求cos2B的值．

考点： 余弦定理的应用． 专题： 计算题；解三角形．

分析： （1）由（2）求出a，利用

得

得边c的长；

，求出sinB，即可求cos2B的值．

解答： 解：（1）由所以c=5．…（4分）

（2）由a=b+c﹣2bccosA得，所以a=7．…（6分）

2

2

2

得，．…（2分）

，

由得，

所以所以

．…（9分）

．…（12分）

点评： 本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn=log2（an+1），a1=1且对于任意n≥2，n∈N+有an=2an﹣1+1．

（1）证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）通过已知条件，利用等比数列的定义，直接求出an+1=2（an﹣1+1），即可求证数列{an+1}是等比数列；

（2）利用（1）直接求数列{an}的通项公式an，然后求出{bn}的通项公式bn，可得cn=an?bn的通项公式，利用分组求和法和错位相减法，可得答案． 解答： 证明：（1）当n=1时，S1=2a1﹣1，得a1=1． （1分） ∵Sn=2an﹣n，

∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）， 两式相减得：an=2an﹣2an﹣1﹣1， ∴an=2an﹣1+1． （3分） ∴an+1=2an﹣1+2=2（an﹣1+1），（5分）

∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列． （6分）

n﹣1nn*

解：（2）∵（2）由（1）得an+1=2?2=2，∴an=2﹣1，n∈N． （8分）

n*

∴bn=log2（an+1）=log22=n，n∈N． （10分）

nn

cn=an?bn=n（2﹣1）=n?2﹣n，

23n﹣1n

令T′=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2+n×2，…①，

234nn+1

2T′=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2+n×2，…② ①﹣②得： ﹣T\'=2+2+2+…+2故

2

3

n﹣1

+2﹣n×2

nn+1

=﹣2（1﹣2）﹣n?2

nn+1

T\'=2+（n﹣1）?2

n+1

…（10分）

…（11分）

．…（12分）

点评： 本题是综合题，考查数列的基本性质，等比数列的证明，通项公式的求法，数列求和，考查计算能力，注意解题方法的应用．

22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）+（y﹣1）=4和圆C2：（x﹣4）22

+（y﹣5）=4．

2

2

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

考点： 直线与圆的位置关系．

专题： 计算题；转化思想；直线与圆．

分析： （1）直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，可求直线l的方程．

（2）与（1）相同，设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程． 解答： 解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交； ∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分） 圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d=

=1（2分）

d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）

（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0 则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等， ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即

=

（8分）

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5 因k的取值有无穷多个，所以

或

（10分）

解得或

这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，

）

经检验点P1和P2满足题目条件（12分） 点评： 在解决与圆相关的弦长问题时，一般有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．

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