最新人教版高中数学选修4-5《用数学归纳法证明不等式》课后导练

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课后导练

基础达标

1利用数学归纳法证明不等式“n2?n

2A.(k?1)?(k?1)?k2?3k?2?k2?4k?4=k+2 k2?3k?2?(k?2)2?(k?2)

2B.(k?1)?(k?1)?2C.(k?1)?(k?1)?2D.(k?1)?(k?1)??(k?1)2?2k?2?(k?2)2?1?(k?2)2=k+2

答案：D

2已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1 000时P(k)成立，且当n=1 000+1时它也成立，则下列判断中正确的是（） A.P(k)对k=2 004成立

B.P（k）对每一个自然数k成立 C.P（k）对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立答案：D

3用数学归纳法证明（） A.

11113????(n≥2)，从k到k+1需在不等式两边加上n?1n?22n24111? B. 2k?12k?22(k?1)C.

1111?? D. 2k?12k?22k?1k?1答案：C

4欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2n>n3,n0为验证的第一个值，则（） A.n0=1

B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n0≥10 D.n0=2 答案：C 5已知Sk=A.Sk+

1111?????(k=1,2,3，…),则Sk+1等于（） k?1k?2k?32k111? B.Sk+

2k?2k?12(k?1)

C.Sk+

1111?? D.Sk+ 2k?12k?22k?12k?2答案：C 综合运用 6证明不等式1+

12?13???1n?2n(n∈N).

证明：1°当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右边.不等式成立. 2°假设当n=k时，不等式成立，即1+

12?131???1k现

?2k,则当n=k+1

时,1+

121k?1?13???1k?1k?11?2k?k?1(在关键证明

2k??2k?1).∵2k?k?1?2k?1

2k?k?1?1k?1?2k?1?k?(k?1)?1k?1?2k?1(基本不等式放缩)

=2k?1?2k?1=0, ∴2k?1k?1?2k?1,

即当n=k+1时,原不等式成立，由1°、2°,可知对任意n∈N,原不等式成立.

11111????????2>1. nn?1n?2n?kn11113证明：1°当n=2时，左边=???>1,不等式成立;

234121111????2>1,则当n=k+1时,左2°假设当n=k(k≥2)时，原不等式成立，即?kk?1k?2k7设n>1,n∈N,证明边比n=k时增添了

11111??????? k2?1k2?2k2?3(k?1)2k?????????????????k?1项11112k?11k2?k?1???????? 22222(k?1)(k?2)(k?1)k(k?1)kk(k?1)???????????????2k?1项?k(k?1)?1>0(k≥2).

k(k?1)2

故当n=k+1时，不等式成立. 由1°，2°,可知对任意n∈N,n≥1，原不等式成立.

8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n>1且n∈N时，试证明an+cn>2bn. 证明：（1）当n=2时，∵a2+c2>2(

a?c22

)=2b,即命题成立. 2（2）设当n=k(k≥2)时，有ak+ck>2bk.

由于a,c为正数，所以(ak-ck)与a-c同号，即（ak-ck）(a-c)>0,亦即ak+1+ck+1>akc+ack, ∴ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>=

1k+1k+1k

(a+c+ac+ack) 21kk

(a+c)(a+c)=(ak+ck)b>2bk+1, 2即n=k+1时成立. 由（1）、（2）,知对于n>1且n∈N时命题成立. 拓展探究

9已知x1>0,x1≠1且xn+1=

xn(xn?3)3xn?1222(n=1,2,3,…)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足

xnxn+1. 证明：由于xn+1-xn=

xn(xn?3)3xn?12-xn=

2xn(1?xn)3xn?122且x1>0,又由题设可知对任意n∈N,有xn>0,

故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x1<1与x1>1两种情况讨论. （1）若x1<1,用数归纳法证明1-xn2>0. 1°当n=1时，1-x12>0成立.

2°假设当n=k时，1-xk>0成立，则当n=k+1时，1-xk+1=1-［

xk(xk?3)3xk22(1?xk)3］=>0，22?1(3xk?1)2

2即当n=k+1时，有1-xk+12>0成立.故对任意n∈N,都有1-xn2>0,∴对任意n∈N,有xn+1>xn.

(2)若x1>1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2<0,此时有xn+1

nn?110求证：n≥3时，>1. n(n?1)3481证明：用数学归纳法.当n=3时，3?>1,命题成立.

464kk?1根据归纳假设，当n=k(k≥3)时，命题成立，即>1.① k(k?1)要证明n=k+1时，命题也成立，即

(k?1)k?2>1.② k?1(k?2)

(k?1)2k?2要用①来证明②，事实上，对不等式①两边乘以,就凑好了不等式②的左边.接下k?1(k?2)(k?1)2k?2来，只需证明>1.③ k?1[k(k?2)]因为（k+1）2k+2=(k2+2k+1)k+1>(k2+2k)k+1,这就证明了③式. 由①②③知对于n≥3,n∈N,命题成立. 11设0

11+a,求证：对一切自然数n，有1

1?aan证明：用数学归纳法.当n=1时，a1>1, 又a1=1+a<

1,显然命题成立. 1?a假设当n=k时，命题成立，即 1

1.① 1?a1.② 1?a要证明n=k+1时，命题也成立，即 1

要用①来证明②，事实上，由递推公式，知ak+1=

1+a>(1-a)+a=1, ak11?a21同时，ak+1=+a<1+a=<,这就证明了②.

1?a1?aak12设数列{an}满足a1=2,an+1=an+

1,(n=1,2,3,…) an(1)证明an>2n?1对一切正整数n都成立； (2)令bn=证明：

（1）当n=1时，a1=2>2?1?1,不等式成立. 假设n=k时，ak>2k?1成立.当n=k+1时， ak+12=ak2+

ann（n=1,2,3…）,判定bn与bn+1的大小，并说明理由.

1ak2+2>2k+3+

1ak2>2(k+1)+1.

∴n=k+1时，ak+1>2(k?1)?1成立.

综上，由数学归纳法可知an>2n?1对一切正整数n成立. （2）

bn?1an11nn

?n?1=(1+2)<(1+)· bn2n?1ann?1n?1ann?1

?2(n?1)n(2n?1)n?1?2n(n?1)?2n?111(n?)2?24<1.故bn+1

(1)当a1=2时，求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有 ①an≥n+2; ②

1111?????. 1?a11?a21?an2(1)解析：由a1=2,得a2=a12-a1+1=3.由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4.由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5.由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n≥1).

(2)证明：①用数学归纳法证明：①当n=1,a1≥3=1+2，不等式成立.②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是说，当n=k+1时，ak+1≥(k+1)+2.根据①和②，对于所有n≥1,有an≥n+2.

②由an+1=an(an-n)+1及①,对k≥2,有ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,… ∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1.于是

n111??k?1,k≥2.

1?ak1?ak2111n11?????1?a11?a1k?22k?11?akk?11?ak?2k?1n1k?1?221??. 1?a11?32214（2004长春高中毕业班第二次调研测试,理22）

an已知数列{an}中，a3=a(a>2),对一切n∈N,an>0,an+1=.

2(an?1)*

(1)求证：an>2且an+1

(2)证明a1+a2+…+an<2(n+a-2). 证明：

an(1)an+1=>0,∴an>1.

2(an?1)an?1(an?1?2)2∴an-2=≥0. ?2?2(an?1?1)2(an?1?1)∴an≥2.若存在ak=2,则ak-1=2,由此可推出ak-2=2,…,a1=2,此与a1=a>2矛盾，故an>2.

∵an+1-an=

an(2?an)<0,∴an+1

2(an?1)an?1?2an?1?2an?1?2, ??2an?1?12(2)由题（1）得an-2=

∴an-2<

an?1?2an?2?2a1?2????(n≥2). 2222n?1111?+…+n?1) 242∴(a1-2)+(a2-2)+…+(an-2)≤(a-2)(1+

1n12=(a-2)=2(a-2)(1-n)<2(a-2). 121?21?∴a1+a2+…+an<2(n+a-2).

15已知f(x)=2x3-ax2,g1(x)=f(x),当n≥2且n∈N*时，gn(x)=f［gn-1(x)］. (1)若f(1)=1且对任意n∈N*,都有gn（x0）=x0,求所有x0组成的集合；

（2）若f(1)>3，是否存在区间A,对n∈N*,当且仅当x∈A时，就有gn(x)<0?如果存在，求出这样的区间A;如果不存在，说明理由. 解析：（1）由f(1)=1?1=2-a?a=1. ∴f(x)=2x3-x2.当n=1时，g1(x0)

=f(x0)=2x03-x02=x0?x0(2x02-x0-1)=0, ∴x0=0或x0=1或x0=

1.由题设,g2(x0)=f［g1(x0)］=f(x0)=x0,假设gk(x0)=x0,当n=k+1时，gk+1(x0)=f2［gk(x0)］=f(x0)=x0,

∴gn(x0)=x0对n=k+1时也成立.

∴当x0满足g1(x0)=x0时，就有gn(x0)=x0. ∴所有x0组成的集合为{0,1,?1}. 2a,对于n≥2,gn(x)<0?f2(2)若f(1)=2-a>3?a<-1.令g1(x)=f(x)=2x3-ax2<0,得x2(2x-a)<0?x<［gn-1(x)］<0?gn-1(x)<

a. 2a). 2∴若对n∈N*有gn(x)<0,必须且只需g1(x)<0.∴A=(-∞,