电磁场理论习题集

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第1章

1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。 1-2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即

?????(????E)???0 1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程

??J?????t

1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ?1和 ?2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是??1和 ?2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ?S???0，试证明：

tan?1tan?2??1?2

上式称为电场E的折射定律。

1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 ?1和 ?2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS???0，把图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：

tan?1tan?2??1?2

上式称为磁场B的折射定律。若 ?1为铁磁媒质，?2为非铁磁媒质，即 ?1>>?2?，当 ?1??? 90??时，试问 ?2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。

1-6 已知电场强度矢量的表达式为

E???isin(? t???? z)＋j2cos(? t???? z) 通过微分形式的法拉第电磁感应定律??E??常数)。

1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数?? 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)???I0sin(?t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。

1-8 在空气中，交变电场E???jAsin(?t????z)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。

?B?t，求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分

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第2章

2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P(0,?0??h)?处有一点电荷q。试求：z???0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度??S和总电荷量q。

2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120?V，左板40?V，下板30?V，右板90?V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)?列出联立方程；(2)?用塞德尔迭代法求解；(3)?计算最佳加速因子 ?；(4)?用超松弛迭代法求解；(5)?比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n???4。

2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ?????0(1???4x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数??。选择基函数为

fn?(x)???x(1???xn) n???1,?2,?3,…

2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为

w1(x)??R?k1??2 和 w2(x)??R?k2??6x

上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数??。

2-5 若带点球的内外区域中的电场强度为

?q,r?a??r2

E?er??qr,r?a??a试求球内外各点的点位。

2-6 已知空间电场强度E = 3ex + 4ey - 5ez，试求（0，0，0）与（1，1，2）两点间的电位差。

2-7 设宽度为W，面密度为ρs的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。

2-8 若在一个电荷密度为ρ，半径为a的均匀带点球中，存在一个半径b的球形空腔，空腔中心与带点球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。

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第3章

3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的标量函数 ? 和矢量函数A都满足下面关系： (1) ????(??)???0?； (2) ????(????A)???0

3-2 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab?，求内外导体之间的漏电流密度J。

3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面r???a和r???b之间的电阻。

3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为????10?2?S/m。设有I???500?A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b???0.6?m，且人能经受的跨步电压为U???200?V，问这一安全半径a应为多大？

3-5 参看图2-5-6，半径为a，间距为D的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ?，电导率为 ?。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。

3-6 参看图3-2-1(a)，半径分别为a和b的两个同心球壳(a???b)之间是电导率为??????0(1?+?k/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位???是否满足普拉斯方程。

3-7 若两个半径为a1及a2的理想导体球埋入无限大的导电媒质中，媒质的电参数为ε及σ，两个球心间距为d，且d >> a1，d >>a2，试求两导体球之间的电阻。

3-8 当恒定电流通过无限大的非均匀导电煤质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为

?????E?????()???

???

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第4章

4-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：

??(??A)???(??A)－?2A

4-2 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

4-3 若在y = - a处放置一根无限长线电流ez I，在y = a处放置另一根无限长线电流ex I，如习题图4-3所示。试求坐标原点处的磁感应强度。

4-4 若无限长的半径为a的圆柱体电流密度分布函数为J?ez(r2?4r),r?a，试求圆柱体内外的磁感应强度。

4-5 证明在边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。

4-6 证明矢量磁位A满足的方程式

2?A???0J的解为

z I y

-a O a x I 习题图4-3

A??04??J(r?)r?r?V?dV?

?1??在r′处的奇点特性） （提示：利用函数???r?r????2 4

第5章

5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式：

????(E×H)???H???(?×E)－E???(?×H)

5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。

??iE??jE??E(i?j2)e?jkz ，(1) E k??xy0??iH?(2) H??jHE0jkz?0?0??0?0??c?c??2?? , ?0??0?0?0?0xy??0(i?jj)e ， k??2?? , ?0?

??jE??kE??E(j?kj2)e?j?x ，(3) E ???yzm???2?? , ????

5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。

(1) H?kHz?iHx??kE0?0cos(?t?ky)?iE0?0cos(?t?ky) ， k???0?0 ， ???? ， ??2? ， ???0?0?????0?0 (2) E?jEy?kEz?jE0cos(?t??x)?kE0sin(?t??x) ， ???(3) H?jH?j2E0cos(?z)cos(?t) ， ????2

y???? ?0?0??2?(4) E?e?E??e?IL2?r?0sin?cos(?t?kr?) ， k??? ， ??

5-4 电流元的远区辐射场为

E?e?E??e?j60?Il?jkr?rsin?e , H?e?H??e?jIl2?rsin?e?jkr (1)

试求：(1)写出波印亭矢量的瞬时值S；(2)写出复数波印亭矢量SC；(3)总的平均辐射功率P?。

5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |Sav|???10?mW/cm2对人体是安全的。分别计算以电场强度E和磁场强度H表示的相应标准。已知E????0H，?0???120???。

5-6 设一天线辐射的电场强度矢量为

E???iAsin(?t???kz) (1)

上式中k???0?0，是电磁波的相位常数，已知波阻抗?0??0?0。试求：(1)将电场强度矢量E改写

成复数形式；(2)通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H；(3)瞬时波印亭矢量S；(4)复数波印亭矢量SC。

5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x分量

Ex???acos(?t???kz)???bsin(?t???kz) (1)

试求：(1)由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H；(2)瞬时波印亭矢量S；(3)复数波印亭矢量SC。

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5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。(注意，在取实部之前应加上时间因子ej?t)

(1)?E???iE0ej?e?jkz?； (2)?E???jE0ej?4?j(kxx?kzz)e； (3)?E???iE0cos(?t???kz)＋j2E0cos(?t???kz????)

5-9 已知磁导率为 ?，介电常数为 ? 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为

E???(i???jj)Aej(?t??z) (1)

上式中，?????，是电磁波的相位常数，已知波阻抗????。试求：(1)瞬时波印亭矢量S，复数

波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)电场能量密度we和磁场能量密度wm。

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第6章

6-1 一频率为f = 100 MHz的均匀平面电磁波在简单媒质(?r???1，?r???4，????0)中沿??z方向传播，电场强度矢量为E???iEx(z,?t)，电场的振幅值为E0???10?4?V/m。当t???0，z???0.125?m时，电场的瞬时值达到振幅值E0?。试写出电场强度矢量E和磁场强度矢量H的瞬时表达式。

6-2 已知自由空间中电磁波的振幅为A，极化方向为j，圆频率为 ?，传播方向为(－z)，试写出该电磁波的电场强度矢量E和磁场强度矢量H。

6-3 试证明在色散媒质中相速vp和群速vg之间满足下面关系：

(1) vg?vp??dvpd? ； (2) vg?vp??dvpd?

上两式中，? 和 ? 分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。

6-4 已知某色散媒质的色散关系为vp?k?m0，其中 ?0是该波在真空中的波长，k，m是正实数，求群速vg?。

6-5 已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为

E?A(i?jj)ej(?t?k0z) (1)

试求其相伴的磁场强度矢量H，并指出电磁波的极化方式。

6-6 试判断Ex???2cos(?t????z)，Ey???3cos(?t????z???90?)?是什么极化波，并写出Ex和Ey分量所满足

6-7 试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。 (1) Ex???Bsin(?t????z)?， Ey???Acos(?t????z???90?) (2) Ey????Acos(?t－?x)?， Ez???Acos(?t????x???90?) (3) Ez???Bcos(?t????y???270?)?， Ex???Acos(?t????y) (4) Ex???Aej(?t+?z)?， Ez???Aej(?t+?z+90?) (5) Hx?

6-8 试证明：

(1)?一个椭圆极化波可以分解为一个左旋和右旋的圆极化波； (2)?一个圆极化波可以由两个旋向相反的椭圆极化波叠加而成。

6-9 已知无限大均匀理想介质中，电场强度矢量的表达式为

E???(i2???j2???kj)e?j(x?y) (1)

试说明该波的极化状态，并计算它的波长 ?。

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Aj(?t?kz)的轨迹方程式。

?0e， H jy ?A?0ej(?t?kz)

6-10 z???0平面是无限大分界面，z???0一侧为真空，z???0一侧为相对磁导率和相对介电常数分别为

?r???1和 ?r???2.25的理想介质。圆频率为 ? 的线极化均匀平面电磁波从真空一侧向分界面垂直投射。已

知z???0分界面上，入射波的电场强度矢量为Ei(x,y,0,t)???iEix???i300?cos(?t)?(?V/m)。试求：(1)?分界面两侧电磁波的相位常数k，波长 ?，相速vp和波阻抗 ??；(2)?分界面两侧入射波、反射波和传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式；(3)?验证分界面上满足电磁场边界条件和能量守恒定律。

6-11 把6-10已知条件中的入射波改为垂直入射面极化，即Ei(x,y,0,t)???jEiy???j300?cos(?t)?(?V/m)，按上面3个步骤重作一遍。

6-12 分别把前两题中得到的反射波和传输波在分界面上的表达式作为已知条件，重做3个步骤。

6-13 在什么条件下，两种无耗介质分界面上垂直入射的均匀平面电磁波反射系数R和传输系数T

6-14 一右旋圆极化波从空气垂直入射到位于z???0的理想导体板上，其电场强度矢量为

Ei(z)?E0(i?jj)e?jk0z的大小相等？

(1)

试求：(1)?确定入射波和反射波的极化状态；(2)?理想导体板上的感应面电流密度矢量JS；(3)?写出空气中总的电场强度矢量E的表达式。

6-15 参见题图，光学仪器中经常使用的等腰三角形玻璃棱镜。

玻璃的相对介电常数为 ?r???4，相对磁导率为 ?r???1。试计算反射光功率流密度与入射光功率流密度之比。

6-16 左旋圆极化波

Ei?12(i?jj)Ae?jk0z

(4)

6-15题图

从空气垂直入射到无限大介质块上。介质的磁导率为 ?0?，介电常数为9?0。试求：(1)?入射波的磁场强度矢量Hi表达式，反射波的电场强度矢量Er和磁场强度矢量Hr表达式，传输波的电场强度矢量Et和磁场强度矢量Ht表达式；(2)?分别计算入射波、反射波和传输波的功率流密度。(3)?如果介质的磁导率为 ?0，介电常数为4?0，入射波、反射波和传输波的平均功率流密度与例6-5-3是否不同？

6-17 均匀平面电磁波由空气入射到z???0的理想导体平面上，电场强度矢量为

Ei?(x,?z)???j10e?j(6x???8z)?(V/m) (8)

试求：(1)?波的频率f和波长 ?，以及它的传播方向；(2)?入射波电场强度矢量Ei和磁场强度矢量Hi的瞬时值形式表达式；(3)?确定斜入射波的入射角(传播方向的单位矢量或方向余弦)；(4)?反射波的电场强度矢量Er和磁场强度矢量Hr表达式；(5)?总的电场强度矢量E和磁场强度矢量H的表达式。

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第7章

7-1 已知矩形波导横截面的尺寸为a×b???2.850???1.262 cm2，内部填充空气(?0,??0)。波导所传输信号的工作频率为f???8×109?Hz，求主模的截止频率fc?(10) ，截止波长 ? c?(10)，波导波长 ?g(10) 和波阻抗ZH10。已知光速为c???2.998×108?m/s。

7-2 已知矩形波导横截面的尺寸为a???b???2.286???1.016 cm2，内部填充空气(?0,??0)。波导所传输信号的工作频率为f???2???1010?Hz。试求矩形波导中能传输的波型模式。已知光速为c???2.998×108?m/s。

7-3 已知矩形波导横截面的尺寸为a???b，填充空气(?0,??0)。试写出：(1)?TM11模(E11模)的场量表达式；(2)?x???0壁内表面上的电流密度矢量JS。

7-4 已知矩形波导横截面的尺寸为a???b，填充空气(?0,??0)。试写出：(1)?TE11模(H11模)的场量表达式；(2)?x???a壁内表面上的电荷密度 ?S?。

7-5 有一空气填充的矩形波导，横截面的尺寸为a???2.25?cm，b???1.00?cm，工作于TE10模(H10模)状态，工作频率为f???10 GHz。在不发生击穿现象的情况下，矩形波导内所能通过的最大传输功率为何？

7-6 矩形波导横截面的尺寸为a???b???2.3???1.0?cm2。如果该波导分别以 ?0???5?cm，?0???4.7?cm，

?0???4?cm，?0???3?cm和 ?0???2?cm?5种工作波长来工作。试问：(1)?若波导填充空气，哪些工作波长的信

号不能在波导中传输？哪些工作波长信号能以TE10模(H10模)单模传输？哪些工作波长的信号会出现多模传输？(2)?若该波导填充 ?r???1，?r???4的介质，哪些工作波长的信号能以TE10模(H10模)单模传输？哪些工作波长的信号多模传输？

7-7 欲使工作频率为f???1.5?GHz的信号在横截面为a???b???5.0???2.0?cm2的矩形波导中以TE10模(H10

模)单模传输，试问该波导中所需要填充介质的相对磁导率 ?r和相对介电常数 ?r分别应为多少？

7-8 矩形波导横截面的尺寸为a???b???7.0???3.0?cm2，传输工作频率为f???1.0?GHz的信号。试求：(1)当波导内部填充空气时，信号能否以TE10模(H10模)单模传输？(2)?当波导中填充 ?r???1，?r???4的媒质时，信号能否在波导中以TE10模(H10模)单模传输？(3)?当波导中填充 ?r???1，?r???9的媒质时，波导中会出现哪几种工作模式？(4)?当波导中填充 ?r???1，?r???25的媒质时，波导中会出现哪几种工作模式？

7-9 假设矩形波导中单模传输频率为f???50?Hz的市电。试问：(1)?当波导内部填充空气时，矩形波导横截面宽边的尺寸a应该选多大？(2)?当波导内填充 ?r???10，?r???10的介质时，a值又如何选择？

7-10 已知圆形波导的半径为a???1.389?cm，内部填充空气。假设波导中传输信号的频率为f???8.6?GHz，

○f???8.6?GHz，试计算圆形波导主模TE○（H11模）的截止波长?○和波导波长 ?○，并问此时波导 11模g(H)c(H)1111中还存在着那些模式？

7-11 试写出空气填充的尺寸为a???b???d???8???6???5?cm3矩形谐振腔的前三个最低模式及其谐振频率。

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7-12 试写出空气填充的尺寸为a???b???d???4???3???5?cm3矩形谐振腔的前三个最低模式及其谐振频率。

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第8章

8-1 已知磁化等离子体的张量介电常数为

?4?(?)??0?j3??0?j3400??0? (1) ?2?试求：(1)?电场强度矢量E???iEx???jEy???kEz对应的电位移矢量D的表达式；(2)?如果电位移矢量D???iDx，试求它所对应的电场强度矢量E。

8-2 频率为f???10?MHz的均匀平面电磁波在B0???0的非磁化等离子体中传播。已知等离子体频率fp???8?MHz，试求等离子体中的相速vp和波长 ?。

8-3 如果等离子体中恒定磁场B0???iB0，试计算这种情况下等离子体的张量介电常数?(?)。 8-4 已知磁化等离子体中恒定磁场为B0???iB0，已知?1???4，?2???3.46，?3???0。求等离子体中的自由电子浓度(密度)N和外加恒定磁场B0。

8-5 在z???0的区域中有磁化电离气体，恒定磁场为B0???kB0。均匀平面电磁波

Ex?Ae?jk0z ， Hy?1?0Ae?jk0z (3)

由z???0一侧向z???0平面垂直入射。求反射波和传输波，并说明反射波的极化状态。

8-6 将8-5题中的电离气体换成铁氧体，恒定磁场仍为B0???kB0。作类似的计算。

8-7 在z???0的空间中充满了磁化等离子体，自由电子浓度(密度)为N???1017?m?3，外加磁场为B0???k0.1?T。频率为f???1?GHz的线极化波从的空间垂直入射到磁化等离子体上，求进入等离子体的功率占入射功率的百分数。[提示：参看例8-2-4原教材例11.2-4]

8-8 已知磁化铁氧体的张量磁导率为

?0.8?(?)??0?j0.5??0?j0.50.800??0? (1) ?1?试求：(1)?磁场强度矢量H???iHx????jHy所对应的磁感应强度矢量B；(2)?磁感应强度矢量为B???iBx所对应的磁场强度矢量H。

8-9 参看例8-4-1。由张量磁导率(?)求磁化铁氧体对负旋圆极化波所呈现的等效磁导率 ?－。

8-10 磁化等离子体中的自由电子浓度(密度)为N???1016?m?3，恒定磁场为B0???k0.1?T。假设频率为

f???4?GHz的线极化波沿z轴正方向传播，试计算波传播d???1?m后极化面旋转的角度 ? (绝对值)。

8-11 磁化铁氧体的张量磁导率由8-8题给出，已知铁氧体的介电常数为 ? = 6?0。假设频率为f =

11

3GHz的线极化波沿z轴正方向传播，试计算波传播d = 1 m后极化面旋转的角度 ? (绝对值)。

8-12 参看例8-2-1。由张量介电常数(?)求磁化等离子体对负旋圆极化波所呈现的等效介电常数 ?－。

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