开展合作探究教师培训指导手册（数学学科）
1.“体验式”概念教学模式：
结合杜宾斯的APOS理论，“体验式”概念教学的教学模式是：观察体验——聚焦概念——讨论交流——归纳概括——体验应用。例如在学习三角形时，教师给学生创设现实情境，如提供三角板、钢架、自行车灯的图案或者实物，学生观察这些实例，并聚焦到三类实物的共同特征有三角形，今儿聚焦的三角形，并讨论交流形成三角形的定义——三条线段首尾相连组成的图形，最后还原到现实情境中再次确认和变式应用。
变式1：在《数与代数》学习领域的数概念的探究教学中，“体验式”概念教学模式的流程可以总结简化为：概念引入——概念形成——概念巩固。
变式2：在《图形与几何》学习领域的图形的认识概念探究教学中，“体验式”概念教学模式的流程可以归结为：感知——分化——辨析——推广。
2.“发现式”规则或命题教学模式：
“发现式”规则或命题教学模式是：创设情境——发现方法—— 理解原理——交流展示——方法应用。
变式1：在《数与代数》学习领域的数的运算的探究教学中，“发现式”运算教学的流程可以变形为：创设情境，引发需要——理解情境，列出算式——理解算理，探索算法——交流展示，体验多样——练习应用，巩固算法。
变式2：在《图形与几何》学习领域的图形的测量探究教学中，“发现式”教学模式的流程可以简化为：激趣——探究——总结——应用。
3.“驱动式”问题解决教学模式：
“驱动式”问题解决教学模式是以问题驱动为核心，其教学流程为：创设情境，提出问题——探究分析、解决问题——反馈评价、归纳小结——变式拓展、应用巩固——总结反思、提升深化。
变式1：在《统计与概率》学习领域的探究教学中，“驱动式”问题解决教学模式可以根据统计与概率的具体特点总结为：创设情景，问题驱动，经历收集与整理数据——认识统计图表（完成统计图表），合理描述数据——分析解释数据，解决简单问题，做出科学预测。
变式2：在《综合与实践》学习领域的探究教学中，“驱动式”问题解决教学模式的具体教学流程为：确定探究问题，明确探究目标——设计探究方案，明确探究思路——组织操作实施，体验解决问题——反思探究过程，发现探究成果——交流分享评价，深化认识理解。
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变式3：在《解决问题》教学中，“驱动式”问题解决教学模式的流程为：创设情境，提出问题——探究分析、解决问题——反馈评价、归纳小结——变式拓展、应用巩固——总结反思、提升深化。
四、数学探究教学观察检核
（一）准备观察
首先，观察前要与任课教师交流，了解将要观察课堂的基本情况。应着重了解四个方面的内容：
1.课程背景。观察前应设法了解要教的教学内容，以及学生应具备的相应学习经验。如果课程辅助材料对这节课所需要或涉及的学习经验有提示，观察者可参阅这些材料。
2. 探究结构。探究活动虽不是固定的，但却也不是变幻莫测的，而是有着大致类似的步骤或模式。典型体现为以下几个阶段：设置情境、调查研究、建构意义、拓展应用。
设置情境 教师设置问题情境，促使学生思考挑战性的问题，激发学生的探究欲望。 调查研究 学生计划和使用某些方法来解决问题，解决效果如何，取决于学生对探究过程的熟练程度、学生之间的合作、以及独立或依赖教师的情况。教师根据课堂的具体情况，或监控学生的活动，或介入学生的活动，或在学生寻找答案的过程中提供指导。
获得意义 学生分析数据，解释说明，为研究结果作辩护。学生解释研究结果的意义，在教师的帮助下与自己的研究小组成员以及与全班同学讨论研究结果和结论。
拓展应用 学生需要思考所获得的信息对他们进一步研究的启示。可能因为这次课提出的问题激发了他们探究其他领域的兴趣，从而把调查研究拓展到相关的职业、社会、文化或其他内容领域。
3.教师的角色。在探究教学中，教师确定课的目的与进程，并指明为什么要从事探究学习，为什么要采用可靠的探究过程。在处理和讨论研究结果的过程中，教师促进学生开展生生之间以及全班之间的合作。出于严谨方面的考虑，教师根据学生的发言，激发他们反思自己的观点，挑战自己的想法。
4.学生的角色。由于整个探究过程是由学生实行的，观察者应该确定学生先前是否有探究的经历。教师确定调查研究的基调，决定开展哪种类型的探究，然后促进学生探究问题，养成探究过程和思维的习惯。在指导型探究中，学生在教师的提示下弄清当前要完成的任务以及探究问题的必要程序。这些程序包括：收集、记录和解释数据；评价它是否作为解决问题的可靠证据；捍卫探究的答案、证据和方法。在开放性探究中，所
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有这些活动靠学生自己独立完成。
（二）实施观察
探究学习是学生在教师指导或引导下进行的，为便于观察、对比，特将教师与学生应从事的活动列在表1中。建议采用如下步骤。
1.观察前。观察者应进一步弄清教师和学生将开展哪些探究活动。与表1相对应，表2、表3把师生个人的探究活动作了分类，每类有不同的观察焦点。
2.观察中。课堂中如出现很多探究活动，这表明课堂正在努力开展探究实践。探究如何进行，通常取决于教师的教学意图以及学生从事调查研究的意图，因此观察者可能会推测，在某种情境下教师和学生的想法是什么。但这些推测不一定正确，应在观察后同教师和学生讨论作出的推测。
3观察后。观察后与教师讨论观察中留下的印象，有助于深刻的理解堂课的不确定性。在课后访谈中，观察者应该积极反思预期的活动为什么会出现或为什么不出现，特别需要反思的是，观察到的探究活动到底从哪些方面真正反映出学习的发生。
表1 可观察的课堂探究活动
教师 联系旧课，引入新课 ·重点放在关键概念或知识点上 ·提供理解和运用概念的机会 ·挑战学生先前的理解 ·利用作业（画图、写作等）进一步了解学生对概念的理解 ·提出挑战性问题，激发学生找寻靠证据来改进对概念的解释 ·质疑和鼓励学生思考概念 ·鼓励学生质疑已作出的解释* ·引导学生从搜集的证据中建构意义 ·帮助学生把他们已有的经验同当前思考以及把他们的探究与学科专家如何思维和工作联系起来 ·帮助学生克服一些过程技能的难题，如分离与√
学生 ·积极参与调查研究 ·提出自己的问题 ·计划并实施调查研究 ·确定需要哪些证据 ·设计并实施实验 ·在证据基础上建构解释 ·收集、组织并解释数据* ·做记录 ·参考其他资料以获得额外信息 ·建构模式来解释更复杂的自然或社会现象 ·运用相关验证程序 ·基于证据讨论结果与结论 ·找寻其他可能的解释 ·反思自己的解释* ·反驳他人的观点，把重点放在搜寻证据上* √ 12
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 教师 √ 学生 √ 控制变量等 ·分享观点* ·帮助学生发展探究技能（见学生栏） ·交流在探究过程中遇到的问题 ·把调查研究拓展到新的但相关的问题中去 ·把与刚完成的调查研究相关的结论和方法应用到真实情境中去 表2：观察核对表：探究活动类型 对教师的观察 √ 教学目标 对??表现*自然与自信 本堂课的教学内容 教学活动 本堂课的目的 当前任务具有挑战性 使学生清楚 本堂课与旧课的联系 本堂课自始至终都基于学习经验 促进他们的工作（与仅仅给出提示相对*） 营造一个问题解决情境并引导学生解决问题 通过??与学生交流 要求讨论时讲证据、挑战而不是忽视证据、帮助学生评估证据的说 服力 将学生的活动与思考集中在探究内容，以及同活动相关的程序上 通过??监控质量 促进生生、全班以及生师之间的讨论 对评估和作业提供反馈
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表3：观察核对表：探究活动类型 对学生的观察 开展活动 开展讨论 通过??表现出参与 对活动的兴趣 对讨论的兴趣 对学习内容和面临的挑战提出问题并作评论* 通过??表现出积极主动 关注和利用其他同学的观察结果，设计新方法，重新做工作 显示出理解和尊重专业探究程序，如控制变量和多重检验 通过??体现科学活动的专业性 **√ 在整个课堂期间详细记录观察结果（如以日志形式）和数据 表现出理解什么是该学科的可靠证据并恰当运用这些证据 以证据为基础捍卫自己的结论并挑战彼此的结论 *有些观察（如上表中带星号的部分）并不是建立在可直接观察的探究活动上。相反，它们有赖于作怎样的解释，因此观察后与教师探讨这些印象会加深对课堂复杂性的理解。
说明：（1）按上表作观察时，并不反对对探究活动作深入的学理分析，观察者要把握探究教学理念与探究教学行为相联系，辨别那些表面热闹而实际低效的“探究”课。（2）不同年级水平与不同探究经历的学生，开展探究教学时会有类型或水平上的差异，观察时应注意学生探究行为或技能的不同表现形式与表现程度，不可固守某种标准。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） ，教育部－联合国儿童基金会“教师教学方式变革促进农村地区小学生 学习能力发展”（SMILE）项目
教师培训指导手册
（数学学科）
西南大学
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科）
引 言
为了提高农村基础教育的质量，促进均衡教育的发展和儿童学习能力的提高，联合国儿童基金会面向中国西部偏远农村地区学校开展了“改变教师教学方式，促进学生学习能力提高”的SMILE项目。提高学生的学习能力，关键在于转变教师的教学方式。为了提升小学数学教师的的教育理论水平和实践操作能力，确保项目的有效实施，项目开发了《开展合作探究教学的小学教学教师培训手册》（以下简称为《小学数学教师手册》）。
《小学数学教师手册》的使用对象：
手册适用于教育部——联合国儿童基金会《改变教师教学方式，促进学生学习能力提高》项目所有实验学校的小学数学教师和县级培训者。
手册可用于教师培训或是教师自学。 《小学数学教师培训手册》的编写内容：
手册的编写思路是采用总—分的专题形式，手册共有六章，其框架图如下： 第二章
第一章为总论，主要介绍探究教学的有关理论和数学学科探究教学的特点，教学探究教学的三大模式：“体验式”概念教学模式、“发现式”规则或命题教学模式、“驱动式”问题解决教学模式及五个变式的基本流程和实施策略，后面五章是分论，介绍数学探究教学三大教学模式和五个变式下具体学习领域的探究教学实践和操作，分为《数与代数》的探究教学、《图形与几何》的探究教学、《统计与概率》的探究教学、《实践与综合》的探究教学、《解决问题》的探究教学等五个专题，专题的划分与课程标准的学习领域基本一致。
除第一章为文本学习外，后面五章按单元目标、教学重点、教学难点、理论引领、案例研讨、学习材料的方式进行编写。
案例讨论是一个培训菜单，采用学习活动方式分步骤展开。该环节既强调学员的实践，又突出学员之间、学员与专家之间的交往互动，使其成为手册的亮点。
手册提供的培训方法具有一定的普适性，手册中提供的材料和案例均来源于一线教师，基本选用小学3～5年级的教学重点和难点内容，仅供参考。培训者在培训过程中可以就地取材，使培训内容更加契合当地的实际。
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第一章 探究教学的理念与策略 第三章 图形与几何 探究教学 第四章 统计与概率 探究教学 第五章 综合与实践 探究教学 第六章 解决问题 探究教学 数与代数 探究教学 开展合作探究教师培训指导手册（数学学科）
目 录
第1单元.................................................................. 3 探究模式教学的理论与策略.................................................. 3 第一节 探究教学的理论与策略 ............................................ 3 第二节 数学探究教学的特征与教学模式 .................................... 7
第2单元................................................................. 15 数与代数的探究教学....................................................... 15 第一节 数的概念教学：“体验式”概念教学模式 ............................. 15 第二节 运算教学：“发现式”运算教学模式 ................................ 7
第3单元................................................................. 25 图形与几何的探究教学..................................................... 25 第一节 图形的认识教学：“体验式”教学模式 ............................. 26 第二节 图形的测量教学：“发现式”教学模式 .............................. 36
第4单元................................................................. 46 统计与概率的探究教学..................................................... 46
第5单元................................................................. 56 综合与实践的探究教学..................................................... 56
第6单元................................................................. 67 解决问题的探究教学....................................................... 67
后 记................................................................... 94
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第1单元
探究模式教学的理论与策略
第一节 探究教学的理论与策略
探究是新课改倡导的重要学习方式，也是各科课程标准的核心理念。但课改推行至今，人们对什么是探究、为什么要探究、如何探究等问题还存在认识上的分歧。由于学习活动较为复杂，涉及到的内容广泛，可采用不同视角与思路从不同层面进行研究，因而存在分歧是正常的。教育部——联合国儿童基金会“教师教学方式变革促进农村地区小学生能力发展项目”（SMILS项目）对探究教学有其认识，并提出相应的实践策略。
一、探究教学的内涵与特征
从广义上说，探究泛指一切努力解决问题，寻找答案的过程。它既包括好奇心驱使下的非正式探索行为，又包括学科领域中采用特定方式进行的专业探究活动。作为一种有目的、有计划、有组织的人类活动，教学中的探究显然应当类似学科领域的专业探究，而不是个体的自发探究。这是因为各专业领域的人类文化诸如语文、数学、科学远远超越了个体经验，学生不能由自发探究而获得，而必须在他人帮助下，在了解和掌握各专业领域特有探究方式的基础上，才能获得对现有文化的理解、继承与创新。因此，我们认为：探究教学是指学生在教师的指导下，为获得学科素养，以类似专业探究的方式而开展的学习活动。
用通俗的话说，探究教学即是知识怎么得来就怎么教学。各专业学科知识的获得须遵循一定的规范，所以，学生对它们的探究学习不是孤立的自学，而是需要教师的指导；其方式不是个人的盲目摸索，而是与专业知识的获得方式类似；其目的不仅仅是获得知识或培养精英人才，而是落实三维目标，形成学科素养。
探究教学具有以下特征：
1．主体性。探究教学应充分发挥学生的主体性，不能由教师安排好途径和方法，
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牵着学生顺路直达终点——要掌握的概念或原理，更不能为完成教学任务把答案直接告诉学生，让他们被动接受。探究教学时学生要独立思考，自己作出决定或选择，在探究活动的各阶段都要充分发挥主动性、能动性和独立性。
2．合作性。根据维果茨基最近发展区理论，学生需要利用外在的物或人的帮助才能取得最佳发展，因此，必须把探究学习置于合作的背景下来考虑，不能误以为强调学生的主体地位，就可以对学生放手不管，让他们孤立地开展探究学习。探究学习中的合作有多种形式，可以是生生之间，也可以是师生之间。但无论采用哪种形式，彼此都应当通过平等的对话来实现合作。尤其是开展师生合作时，教师的作用不能是过去的那种直接传递，而应当是间接启发，即启发学生思考，以促进学生从探究学习的一个阶段过渡到另一个阶段。
3．模拟性。科学家的认识与学生的认识既有区别又有联系，既相异又相同，关于这一点已有大量讨论。二者的这种关系要求我们既不要把探究学习与专业探究混为一谈，又不要把它们对立起来。既要认识到学生不是学科专家，学生的学习也不是专业探究，其目的不是或不主要是为了发现人类新知，而是要更好地理解所学学科，学会像专家那样思考和认识世界；又要认识到专业探究有巨大教育价值，可转化为专业学习，即根据学习目的与学生发展水平对专业探究进行模拟或模仿，使学科的学习成为专业探究的简约复演。简言之, 探究学习是对专业探究的模拟，而不是等同。
上述三方面中模拟性是关键，因为学生探究学习时能否开展合作、主观能动性能否得到最大限度地发展，主要看模拟是否得当。它们相互依赖、相互制约，共同形成探究学习核心思想：从参与学科知识的获得过程的学习中达到最佳发展。
二、探究教学的基本理念
关于什么是探究教学、为什么要开展探究教学以及怎样开展探究教学，人们可以从不同方面与水平作多种多样的解释和说明，得到不尽相同的认识或结论。这些解释和说明无法也无必要细说，这里仅从理念即基础性或根本性看法或观念水平上作说明，它是一种对探究教学较为抽象、提炼后的观念，对探究教学的各种看法与实践具有提示或指导作用。
1．向全体学生
新课改的一个基本理念是，课程与教学要面向全体学生，使每个学生都获得高度的学科素养。这一基本要求都明确写在各科课程标准中。如我国《义务教育科学课程标准》
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指出：“全面提高每一个学生的科学素养是科学课程的核心理念”。显然，探究教学也应当面向全体学生，使每个学生都积极参与探究活动，而不能只有个别或少学生在探究。
简单说，学科素养就是能够应用学科知识作出明确的判断与决策以及应用知识解决相关实际问题的能力，以便将来能够作为一名合格公民有效参与社会生活与活动。实践表明传统的接受教学虽然有利于掌握（主要死记硬背）大量知识，但这些知识是惰性的，不能被灵活用来解决实际问题。类似专业探究的探究教学应当促使学生在解决问题的过程获得学科素养与实现三维目标。
2．面向真实学科
出于教育上的考虑，教学内容经过编者的加工处理，把专业学科的知识以定论、线性排列的方式写进教科书中，经过机械的接受学习，学生形成了静止的知识观，对学科的性质缺乏了解，同时也严重阻碍了学生的怀疑精神与创新能力的发展。因此，当今的课程与教学要面向真实学科，了解学科性质与专业探究方式，掌握或初步专业探究方法。
人们常说，只有在游泳中才能学会游泳。同理，学生只有通过探究学习才能更好理解专业探究。然而，由于种种原因，现行探究教学实践存在种种误区，如探究存在严重“形式化”现象。表现为探究教学不充分考虑内容性质、学生水平、教学条件等方面的差异，机械遵循某种步骤或模式，使学科探究徒有形式，而无精神实质。因此，真正的探究教学必须面向真实学科，与专业探究类似，做到既形似又神同。
3．回归生活世界
知识来源于生活，但长期以来，接受教学脱离学生的生活世界，对学生进行抽象、枯燥的分析和说明，演变成从文字到文字、从公式到公式的“符号游戏”，结果使学生降低学习兴趣，认识不到知识的社会价值，阻碍他们解决实际问题能力的发展，出现所谓的“高分低能”现象。所以教育教学应当回归生活，正如《义务教育科学课程标准》指出，课程教学“要吸收和反映科技发展新成果、新话题，以及社会生活中人们共同关注以及亟待解决的问题，尽力为学生创造一个真实的学习环境。”
探究教学应当通过将知识寓于真实生活世界的情境，如个人生活情境、职业生活情境、社区或社会生活情境、科学生活情境等，然后引导学生识别情境中所蕴含的相关知识，形成学科领域的问题并解决这些问题，最后再回到生活并对生活起指导作用。这样，才能知识来源于生活，又高于生活。
三、探究教学的基本策略
探究教学的基本理念对探究教学实践具有指导作用，这种指导作用充分现在教师要
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随着学生思维年龄特征、教材内容的性质、教学设备的充分与否等因素的不同而灵活、有效地开展探究教学。
1．模仿专业的探究的基本程序
严格说来，专业探究活动是复杂的，不会遵循某种固定的不变的步骤或程序，但专业探究也不是变幻莫测、不可认识的，在逻辑上体现出一定的先后顺序。如就科学而言，科学家的探究大致经过提出科学问题、猜想与假设、制定计划和设计实验、获取事实与证据、检验与评价、表达与交流等主要阶段，这些阶段在科学课程标准中有详细的描述。语文、数学的专业探究程序在课标中也有说明。尽管语文、数学、科学大致遵循不同的专业探究程序，但还是可以从以下三个维度对它们的共性进行描述：问题、方法、结果。即语文、数学、科学的专业探究都始于有待解决的问题，都采用某种解决问题方法，都会到一定的结果或结论。因而探究教学大体也要体现问题、方法与结果这三个基本环节。进而，判断某种教学是不是探究、程度如何，可以从上述三个环节进行衡量，即学生是否形成或发现有待解决的问题，是否采用相应方法，是否取得相应结果。
2．体现专业探究的基本精神
探究教学不同于儿童基于好奇心下的自发探究，而是类似于专业探究的文化继承活动。这种过程不仅要反映专业探究的大致程序，还要体现专业探究的基本精神。如就科学探究而言，它体现了科学家的求知精神、怀疑精神、求实精神等，学生的探究学习也应当在相应环节中体现出上述精神。因而，判断某种教学是否是探究教学还要看学生在探究过程中是否体现出相应的专业精神。如此，学生的探究学习才能与专业探究“即形似又神同”。
3．灵活应用探究教学模式
“教学有法，教无定法”。探究教学有法可依，但又不能拘泥僵化。遵循探究教学模式有助于教师在“做”中学会理解与实践探究教学，实现探究教学在认识与实践方面的逐步统一与提高。当然，如果机械遵循某种模式，囿于模式而不知变通，不根据实际情况灵活运用，那么就会导致探究教学的低效或无效，使自己固步自封，更谈不上形成自己的探究教学风格与特色。教师手册中虽然列举和说明了体现本学科专业探究程序与精神的探究教学模式，但如何应用它们，教师应当从自己的实际出发。如果自己尚不知道如何开展探究教学，不妨先采用手册中的模式，在“做”中积累探究教学的经验；如果教师能熟练使用某种模式，不妨根据实际需要对模式作局部调整，再到形成适合自己的探究模式，最后形成自己探究教学特色或风格。
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第二节 数学探究教学的特征与教学模式
一、数学探究教学意义
何谓“探究”，现代汉语字典解释为“探索追究”。那么，探究式教学方式就是以探索性与研究性为主要特点的一种教学方式。具体落实在教学中，其意义是：从学生已有的生活经验出发，遵循学生学习数学的心理规律，创设教学情境，让学生通过观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和推理等方式自主探索，去发现知识，理解数学知识产生和发展的过程，感受数学与实际生活的密切联系，获得知识和技能，并培养学生的探究能力和实践能力，使其得到全面发展。在此过程中，学生是真正的思考者、探索者，教师是组织者、引导者、参与者。
探究教学的主要教育目标有三个：第一、激发学生学习的内驱力，把接受知识的过程变为学生主动探究知识的过程；第二、既重视探究能力的培养，又在探究中获得科学的结论；第三、既培养探究能力，又调动学生学习的积极性，以形成良好的认知结构。《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。”。其中，就特别强调“主动探索与合作交流”，这正是探究式教学方式的核心。因此，在义务教育数学教学中，应根据数学内容的特点与学生实际，大胆实践探究式教学方式，让学生在学习中积极主动地获取数学知识，发展数学能力，并形成良好的数学情感态度。
二、数学探究教学的特征
在探究式教学中，探究是主旋律，学生是探究的主体，教师是探究的引导者与组织者。问题是探究的源泉，在探究中不是教师演示探究过程，而是以学生自主探究为主题，对自主探究的成果进行反馈与交流，不断改进与评价，既展示学生探究中的成果，又激发学生的成功意识，对个别较困难的课题，可以进行小组合作探究或全班合作探究，以突破难点，培养合作精神。由此可见，探究式教学方式主要有“问题诱发、自主探究、交流合作”等特征。
1.问题诱发性
学生的思维总是从问题开始的。因此探索活动必然要以问题为线索而展开。在某种
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意义上讲，探究式教学活动就是以问题为中心，学生在教师指导下通过发现、提出、分析和解决问题的过程。这里的问题来源包括两方面：一是教师提出的问题；二是学生提出的问题。对教师提出的问题要求较高，其问题特别要求有趣味性、层次性、开放性、科学性、挑战性、情境性等特征，才能引起学生认识冲突，激发学生的探索欲望。要达到这样的教学功能，教师必须认真钻研教材，精心设计，创设探究知识的问题情景，将课本上静态的知识结论变为一个个生动活泼的探索性问题，引导学生在探究未知领域的过程中，获得数学知识与方法。其次，要鼓励学生在探索中提出新的问题，教师要组织学生讨论问题是否有进一步探究的必要？是否对我们学习的新知识有重要价值，若有探索的必要，教师要引导学生进行进一步的探究，获得新的成果。总之，在实施探究式教学中，问题是探究的源泉，没有问题探究将是无源水之水，无本之木。
2.探究自主性
实施探究式教学方式的实质就是强调学生在学会当中的自主探究。学生在教师的点拨下，依靠自己的探究得出问题的结论，发现中的一般规律，找到问题的解决思路。学生不仅使问题获得解决，更重要的是学生经历了解决问题的过程，对解决问题的过程有切身的体会，对获得的结论有一种特殊的成功体验。因此，强调学生探究的自主性，不仅是学生的心理需求，而且是培养学生主动精神与创造能力的重要途径。心理学家皮亚杰说：“一切真理都要由学生自己获得，或者由他们重新发现，至少由他们重建而不是简单地传授给他们”，“一个平庸的教师奉送真理，一个精明的教师教学生发现真理”。可见，学生自主学习对教学是多么的重要。当然，探究式教学强调学生探究的自主性，并不是否认教师在探究中的主导作用，而是要将教师主导作用充分体现在促进学生主体作用上。即教师在问题情境的创设、探究活动的组织与调控等方面发挥出决定性作用，扮演主导者的角色。
3.交流合作性
实施新课程的主要目标之一就是改变单一的接受式学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流的新型学习方式。自主探索、合作交流是新课程理念的重要内容。任何教学方式都不能离开这两大主题。因此在探究式教学方式中，交流合作显得更为重要。因为学生个体探究是有局限性的，若对探究的结果不进行反馈与交流，就难以判断学习知识的正误，就难以发现自己的错误，就难以找到别人探究中所发现的优势资源。因此，在探究过程中必须进行适当的交流，对探究中的新问题要提出来供同伴交流与讨论，对探究中发现的新成果，要展示出来供大家分享与鉴别；对探究中出现的错误，要暴露出来供大家辨析讨论，找到错误根源所在，从而有效地纠正各自的错误，进而提高学习效
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率。与此同时，在探究过程中，必须进行适当的合作。培养合作意识是社会对人才的一种需求，任何单位都是需要有合作意识，团队精神的人才。因此，交流合作性又成为探究式教学方式的主要特征之一。对于一些疑点问题的探究，仅凭个体的探究是有局限的，特别是对中差生显得尤其困难，必须进行合作，互研互进，才能以优带差，共同进步。以群体的力量突破难点，是培养合作精神的重要途径。当然，交流与合作不局限于学生之间进行，在师生之间也必须进行合作与交流。这样，有利于发挥教师的主导作用，有利于促进学生探究活动的有序性，提高探究的效果。
三、数学探究教学的模式与流程
探究式教学的思想渊源可以追溯到苏格拉底的问答式教学法，后来，法国启蒙思想家卢梭提出“自然教育”的思想，其核心是教育必须顺应儿童天性发展的历程。20世纪初，美国教育家杜威认识到了只采用赫尔巴特的“教师中心，从课中学”有局限性，主张“学生中心，从做中学”。杜威的“实用主义教育理论”为探究教学理论的形成打下了初步的基础。
探究教学理论的代表人物有美国教育学家萨其曼、施瓦布和加涅等人。萨其曼（J.R.Suchman，美国伊利诺大学探究训练研究所所长）注重实践，主张“探究方法的训练”模式，重点是帮助学生认清事实，建立正确的科学概念，并形成假设以解释新接触到的现象或事物。施瓦布则试图以“科学的结构”和“科学的结构是不断变化的”为前提，从理论方面揭示探究过程的本质及其特性，并力图在教学中引进现代科学的成果，使学生把握学科的结构，体验作为探究的学习。加涅（美国教育心理学家）在“探究理论”的基础上，研究了构成学习的前提条件。此外，布鲁纳倡导的“发现学习”（discovery learning）与探究教学几乎同时产生，有许多相近之处。
数学探究教学的基本教育过程是：现实情境——数学问题——数学猜想——推理验证。数学不同课型的探究教学都是在此基础上形成或发展的。
在数学学习中，一般分为三类教学：概念教学、规则或命题（包括图形的测量）教学和问题解决（包括综合与实践）教学。在新课标的学习领域中，《数与代数》领域的教学主要包括数的概念教学和数的规则与命题教学两大类，《几何与图形》领域的教学主要包括图形的认识教学（概念教学）和图形的测量教学（规则或命题教学）两大类，而《统计与概率》、《综合与实践》两大学习领域和《问题解决》部分的教学都可以归结为问题解决教学。
因此，我们将数学探究教学归结为三大教学模式：
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科）
第2单元
数与代数的探究教学
第一节 数的概念教学：“体验式”概念教学模式
?了解数的概念教学的作用及特点，理解数的概念教学的总体目标。 ?理解并掌握“体验式”概念教学模式的基本流程。
?提高“体验式”概念教学模式下的概念教学设计能力和实施能力 ?初步学会使用课堂观察的探究教学量表
教学重点:
1．理解并掌握“体验式”概念教学模式的基本流程。
2．提高“体验式”概念教学模式下的概念教学设计能力和实施能力。
教学难点:
提高“体验式”概念教学模式下的概念教学设计能力和实施能力。
理论引领:
一、概念教学的意义、总体目标和特点
概念教学在小学数学教学中非常重要，这不仅因为概念是小学数学教学内容中的主要内容，而且概念是其它知识学习的重要的认知基础，概念教学的教学质量，很大程度影响和制约着其它内容的教学质量，因此在小学数学教学中要高度关注概念教学。
数学概念是客观现实中数量关系与空间形式的本质属性在人头脑中的反映。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学
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概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。
概念教学的总体目标是理解和掌握概念，能把所学的概念应用到数学学习中去。 在小学阶段数学概念的特点：一是表现形式主要有两种：定义式——用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念；描述式——用一些生动、具体的语言对概念进行描述。二是需要达成的目标：准确理解概念，牢固掌握概念，正确运用概念。
二、“体验式”概念教学模式的基本流程
“体验式”概念教学模式一般采用三段教学法，其基本流程是：“概念引入——概念形成——概念巩固”。概念引入：一是以感性材料为基础引入新概念；二是以新、旧概念之间的关系引入新概念；三是以“问题“的形式引入新概念；四是从概念的发生过程引入新概念。概念形成：主要采用对比与类比、恰当运用反例和合理运用变式的方式来完成。概念巩固：一是及时复习；二是重视应用；三是注意辨析。
在概念引入时把相关的旧概念联系起来，大胆放手让学生把某种情境用数学方法加以表征；在概念形成阶段，借助素材的理解与分析，留给学生充足的思维空间，多角度、全方位地提出有价值的问题，让学生思考，指导学生自主地建构新概念，从而培养学习能力；在概念巩固时应用丰富的感性材料和变式练习鼓励学生质疑来培养创新能力，在大量的应用与实践性练习中培养学生的实践能力。在概念教学的同时落实三大能力培养。
培训说明:
本节选取了《倍的认识》和《分数的初步认识》为例，希望实现两个目标：一是通过范例回应数的概念教学中“体验式”概念教学模式的基本流程，从而建构数的概念课教学的简单模型，以触类旁通。二是通过范例以期解决数的概念教学的难点问题。因为我们都知道概念课必须解决三个问题“为什么”“是什么”和“怎么样”，但在日常教学中老师们更多地关注了“是什么”和“怎么样“的问题，忽视了“为什么”的问题；同时，这两个课例对教师教和学生学都比较困难，我们期待通过对两个经典案例的学习，了解在数的概念教学中如何分析教学难点与学生学习难点，如何选择切实可行的方法去
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突破难点。
学习主题 数的概念教学：“体验式”概念教学模式1 通过本主题的学习，你将实现如下学习目标： 目标一：通过教材解读与案例学习，深刻理解为什么小学数学教学中要求学生“经历‘倍’的概念的初步形成过程”，体会在小学数学中怎样建立“倍”的概念。 学习目标 目标二：通过教材解读与案例学习，充分了解在小学数学中怎样以感性材料为基础引入新概念，掌握这类概念教学的基本方法，了解在教学中怎样培养三大能力的过程。 学习时间 培训方法 培训环境 本主题学习需要3小时（3H） 自主学习，小组研讨，专家点评 多媒体教室 材料准备 课题材料，多媒体课件 总时间 1 研读教材自主进行教学设计 学习教学案例 小组讨论 专家点评，反思 在本主题的学习过程中，你需要完成以下任务： 180分钟 40m 30m 60m 50m 学习活动 2 3 4 任务要求 任务一：完成教学设计并提交小组讨论。 任务二：围绕课后问题进行有效反思。 17
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 学习活动1 研读教材自主进行教学设计 40分钟 1．研读教材。 完 成 教 学 设 计 2．自主设计。 3．思考问题： 问题一：在小学数学中怎样以感性材料为基础引入新概念？ 问题二：本课题最能体现三大能力（学习能力、实践能力和创新能力）中的哪种能力？你将设计怎样的教学活动来实现？ 学习活动2 学习教学案例 30分钟 学习“倍的认识”教学案例 小组讨论 60分钟 问题1：本案例中最让你欣赏的是哪一个环节？你欣赏它的理由是什么？ 问题2：在案例设计中哪些环节体现了三大能力？ 问题3：本案例充分体现了“代数思想”，你在平常的教学中如何充分利用教材提供的素材挖掘知识所蕴涵的数学思想？ 学习活动3 学习活动4 专家点评与反思 50分钟 完成反思小记 专家评析： 1．概念引入：提供足够的感性材料，帮助学生形成感性认识 概念是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到 18
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。感性认识是形成概念的基础，所以在“体验式”概念教学模式的实施过程中，要提供足够的感性材料，帮助学生形成感性认识，然后通过抽象、概括，帮助学生从感性认识上升到理性认识，帮助学生形成概念。 这节课是用学具操作——摆小棒来给学生提供感性材料，并且在提供感性材料的同时突出以下两个问题。 （1）提供感性材料的同时提供思考的问题，也就是材料与问题捆绑呈现。例如“摆两排小棒。第一排摆3根。”“ 以3根为一份，请在第二排摆这样的2份。”“你在第二排摆了几根？”“ 为什么要摆6根呢？”这样把感性材料与思考问题捆绑呈现，就不再是一个简单或单纯的操作活动，而是操作与思考相结合，可以强化学生的感性认识。这里要注意的是，教师要求学生摆“这样的2份”而不是“摆6根小棒”，就是抓住了倍的核心内容——另一个数里面有几个这样的一份，就是它的几倍。所以从份数这个核心内容出发去研究倍，容易收到较好的教学效果。 （2）多次提供感性材料。本节课就进行了两次感知，第一次是“以3根为一份，请在第二排摆这样的2份。”第2次是“以4根为一份，请在第二排摆这样的3份。”这样多次感知，一是通过多次感知活动丰富学生的感性认识，二是两次感知的要求不一样，第一次是教师带着学生一步一步地感知，第二次学生独立经历一个较完整的感知过程。由于两次感知要求不一样，所以学生不觉得枯燥，始终以旺盛的求知欲望来投入到感知活动中。 2．概念形成：重视抽象、概括，帮助学生从感性认识上升到理性认识 在学生充分感知的基础上，教师要求学生说一说自己对倍的认识。学生从每一次操作都要排两排小棒这个感知材料中抽象出“倍是两个数在比较”，并清楚地表述为“我们刚才第一次摆小棒，是3和6在比较，6是3的2倍；第二次是4和12在比较，12是4的3倍。”另外学生从操作时“以第一排的小棒为1份”中，抽象出“只要知道了一份是多少，另一个数里面有几个这样的一份，就是它的几倍。”这样就抓住了倍的本质属性。由于本课提供的感性材料丰富，所以学生在抽象、概括的过程中遇到的困难就比较小，很轻松地完成了从感性认识上升到理性认识的过程。而且用当小老师的方式突出学生在抽象概括中的主体作用，体现三大能力的培养。 3．概念巩固：抓住概念的本质属性加深学生对概念的理解 从整节课的设计中可以看出，这节课从头到尾都要抓一个“份”字，从操作中的 19
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） “以3根为一份，请在第二排摆这样的2份”，到练习中的“自主确定一份，练习说谁是谁的几倍”，再到拓展中的“第一次是以4为一份，12里面就有3个4，所以12是4的3倍；而第二次是以2为一份，12里面有6个2。”所以这节课是以对“份”的认识展开的，还通过“这个‘一份’很重要，将来在中高年级的学习中，我们还要继续研究”，使学生对“份”的学习展开无限的遐想与渴望。更为重要的是，这里的“一份”就是今后学习中要进一步关注的“标准量”，也是构建“倍”这个概念的一个重要的基本要素，教学中始终抓住这个要素，就是抓住了这个概念的本质属性，抓住这个概念的本质属性去理解概念，就能深刻理解“倍”这个概念，容易收到事半功倍的教学效果。 4．充分体现三大能力的培养 对一个人而言，学习能力是其他所有能力的基础，因为学习能力就是学习的方法与技巧。因此，教学活动中培养学生的学习能力非常关键。本案例中非常明显地体现了学习能力的培养。教师先通过学具操作让学生自主建立“倍”的表象，然后引导学生在此基础上进行抽象概括，再自主确定一份，练习说谁是谁的几倍。然后这些活动，都通过学生主体作用的卷入使学生的学习能力得到充分的展示，学生在理解知识的同时，发现问题、分析问题和解决问题的能力都会得到提高。尤其是抽象概括的过程中，由于要求学生在获取表象的基础上进行抽象概括，所以抽象概括能力肯定有所增强。 课标明确提出：要在数学活动中培养学生的创新意识和实践能力。本案例中很多教学环节都在力求体现培养学生的实践能力，尤其是活动要求学生自主确定一份，练习说谁是谁的几倍，从知识的层面来看是将新学习到的知识进行应用，从能力的角度来看培养学生的实践能力。 在数学教学活动中不仅要培养学生的创新意识，更要培养学生的创新能力。本案例中最大的亮点就是在拓展练习中，要求学生思考“为什么同样是与梨有关的问题，一会儿是3倍，一会儿6倍呢”，使学生意识到“因为第一次梨是和桃比，第二次梨是和苹果比。这样一份不同，第一次是以4为一份，12里面就有3个4，所以12是4的3倍；而第二次是以2为一份，12里面有6个2，所以12是2的6倍”。通过这样的方式激励学生不断思考，在思考过程中形成自己新的思想。 20
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 学习材料1 ：“倍的认识”教学实录 教学目标： 1．通过自主操作、研究，建立倍的概念，理解倍的意义。 2．提高学生学习数学的兴趣，积极参与具体、直观的数学活动，体验成功的乐趣。 教学重、难点：建立“倍”的概念。 学具准备：小棒，课件。 教学过程： 一、复习引入（课前板书乘法算式4×5＝20，6×8＝48，3×2＝6） 师：孩子们，前面我们学习了乘法，看看这些乘法算式，他们分别表示什么呢？ 生1：4×5＝20表示5个4是20或4个5是20。 生2：6×8＝48表示6个8是48或8个6是48。 生3：3×2＝6表示2个3是6或3个2是6。 师：看来孩子们对前面的知识掌握得很好。 二、概念引入：初步认识倍 1．摆小棒（6是3的2倍） 师：我们常用摆小棒来研究新的知识，今天我们也来摆一摆，行吗？ 生：行。 师： 摆两排小棒。第一排摆3根小棒。 （生在课桌上摆，师在黑板上摆） 师：以3根为一份，请在第二排摆这样的2份。 （生在课桌上摆，请一生在黑板上摆） 师问上台的学生：你在第二排摆了几根？ 台上的学生：6根。 师问大家：你们呢？ 生：我们也摆了6根。 师：为什么？ 台上的学生：因为一份是3根，两份就是6根。 生2：因为一份是3根，两份就有2个3，所以就摆6根。 师：同意吗？ 生：同意。 师：也就是说6里面有几个3？ 生：6里面有2个3。 师边指边说：6里面有2个3，我们就说6是3的2倍。（板书：6里面有2个3， 6是3的2倍。） 生齐读板书。 师引导生看着摆的小棒图再读板书。 2．摆小棒（12是4的3倍） 师：我们再来试试。请在第一排摆4根小棒。 （生在课桌上摆，师在黑板上摆） 师：以4根为一份，请在第二排摆这样的3份。 （生在课桌上摆，请一生在黑板上摆） 师问上台的学生：你怎么摆的？为什么？ 台上的学生：我摆了12根。因为以4根为一份，三份就是12根。 生2：我也摆了12根。因为3个4就是12，所以我摆了12根。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 生3：我也摆了12根。因为以4根为一份，3份就是3个4，就是12根。 师：你能仿照我们刚才黑板上的话来说一说你的发现吗？ 生1：12里面有有3个4，12是4的3倍。 师：同意吗？ 生：同意。 师：掌声送给这位孩子。（板书：12里面有有3个4，12是4的3倍。） 生齐读板书。 师引导生看着摆的小棒图再读板书。 3. 揭示课题 师：从刚才我们的研究中，我们接触了一个新的数学知识——倍，今天我们就一起来认识“倍”（板书课题：倍的认识） 生齐读课题。 三、概念形成：初步理解倍 师：通过刚才的活动，你是怎样理解倍的？跟你的同桌说一说。 同桌交流 组织汇报：谁来说说你的看法？ 生1：倍是两个数在比较。 师：能解释清楚些吗？ 生1：我们刚才第一次摆小棒，是3和6在比较，6是3的2倍；第二次是4和12在比较，12是4的3倍。 师：你的意思是指，倍是在两个数比较时产生的，对吗？ 生1：是的。 师：大家觉得她说的有道理吗？ 生：有道理。 （师板书：两数比较） 师：还有其它看法吗？ 生2：我认为只要知道了一份是多少，另一个数里面有几个这样的一份，就是它的几倍。 师：大家听懂他的意思了吗？ 部分明白，部分学生没听懂。 请生2上台当小老师，跟大家解释清楚。 生2上台边指边讲：比如我们第一次3和6在比较时，知道了1份是3根，另一个数6里面有2个这样的一份，就是3的2倍；第二次4和12比较时，知道了1份是4，另一个数12里面有3个这样的一份，就是4的3倍。所以我们知道1份是多少，另一个数里面有几个这样的一份，就是它的几倍。 师：小老师讲的，你们都明白吗？对于倍，有没有什么问题要问的？ 生均表示已明白了。 师：小老师，我有个问题可以问吗？我说6是2倍，这句话对不对呢？ 生2：我觉得不对。 师：为什么？ 生：因为这里6没有跟谁比较啊，这句话不对，应该说清楚6是谁的2倍。 师：大家觉得小老师讲得怎么样？ 生：很好。 师：掌声送给他。 师：我们一起来梳理一下：通过大家刚才的讨论、研究，我们知道了倍是两个数在比较时产生的，是指两个数之间的关系；如果我们知道了一份，另一个数里有几个这样的一份，就是它的几倍。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） （板书：知道一份，另一个数里有几个这样的一份，就是它的几倍。） 四、概念巩固：自主确定一份，练习说谁是谁的几倍，加深对倍的理解。 师：现在请孩子们自己确定一个一份，摆在第一排；然后在第二排自己确定摆出这样的几份。最后同桌两人说一说怎样摆的，并根据自己所摆的小棒图仿照黑板上说一说。 学生操作，同桌交流。 请生汇报。 生1：我第一排摆了5根，第二排摆了15根，15里面有3个5，15是5的3倍。 生2：我第一排摆了6根，第二排摆了12根，12里面有2个6，12是6的2倍。 生3：我第一排摆了2根，第二排摆了18根，18里面有9个2，18是2的9倍。 师：看来孩子们对倍已经有了比较深刻的理解了。 五、练习 师：下面，我们一起来做做练习，看看能不能用今天学习的知识来解决问题？ 1．课堂活动第1题 师：看看书上94页课堂活动第1题，谁来读读题? 一生读题：圈一圈，填一填。 师：你认为我们该怎么做？ 生1：先以2朵花为一份圈一圈，再填空。 生独立完成。 请一生上台当小老师详细汇报：这里是以黄花的朵数为一份，每两朵红花圈一次。10里面有5个2，10是2的5倍。红花的朵数是黄花的5倍。 2．练习十八第1题 师：书本95页练习十八第一题，你会填吗？ 生独立完成。 汇报。 生1：16里面有4个4，16是4的4倍。 生2：24里面有8个3，24是3的8倍。 生3：45里面有9个5，45是5的9倍。 六、拓展 出示三排水果：第一排摆2个苹果、第二排摆4个桃、第三排摆12个梨。 师：从图中你知道了些什么？ 生：有2个苹果、4个桃、12个梨。 师：梨的个数是桃的几倍？为什么？ 生：梨的个数是桃的3倍，因为12里面有3个4。 师：梨的个数是苹果的几倍？为什么？ 生：梨的个数是苹果的6倍，因为12里面有2个6。 师：为什么同样是与梨有关的问题，一会儿是3倍，一会儿6倍呢？ 生1：因为第一次梨是和桃比，第二次梨是和苹果比。 生2：因为一份不同，第一次是以4为一份，12里面就有3个4，所以12是4的3倍；而第二次是以2为一份，12里面有6个2，所以12是2的6倍。 师：你们觉得“一份”重不重要呢？ 生：重要。 师：是的，这个“一份”很重要，将来在中高年级的学习中，我们还要继续研究。 七、总结 师：孩子们，通过这节课，你都有些什么收获？ 生1：我认识了倍。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 生2：我知道了知道了一份是多少后，一个数里面有几个这样一份，就是它的几倍。 生3：我知道了倍是两个数在比较时产生的，是指两个数之间的关系。 …… 师：看来孩子们的收获还真不小，祝贺你们！我们以后还会继续研究关于倍的许多知识，希望你们继续以今天这种饱满的热情学习数学，研究数学。 注：该案例由重庆市江津区双槐树小学杨霞提供。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 学习主题 数的概念教学：“体验式”概念教学模式2 通过本主题的学习，你将实现如下学习目标： 目标一：通过教材的解读与案例学习，充分了解“体验式”数概念教学模式如何在建立直观表像的基础上抽象概念的过程。 学习目标 目标二：通过教材解读与案例学习，准确把握“分数的初步认识”一课的难点是什么，如何通过有效的教学途径解决这些难点。 目标三：通过教材的解读与案例学习，感受概念课除了教知识外，如何渗透数学思想方法。 学习时间 培训方法 培训环境 本主题学习需要3小时（3H） 自主学习，小组研讨，专家点评 多媒体教室 材料准备 课题材料，多媒体课件 总时间 1 研读教材自主进行教学设计 2 学习教学案例 180分钟 40m 30m 60m 50m 学习活动 3 小组讨论 4 专家点评，反思 在本主题的学习过程中，你需要完成以下任务： 任务一：充分解读教材，分析教学难点，完成教学设计并提交小组讨任务要求 论。 任务二：围绕课后问题进行有效反思。 25
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 学习活动1 完 成 教 学 设 计 学习活动2 研读教材自主进行教学设计 40分钟 1．研读教材。 2．自主设计。 3．思考问题： （1）学生对分数初步认识的认知基础是什么？怎样在学生的认知基础上展开教学？ （2）“分数的初步认识”一课的教学难点是什么？怎样突破这个难点？ 学习教学案例 30分钟 小组讨论 60分钟 问题1：本案例中在解决教学难点时最让你欣赏的方法是什么？你认为它的价值在什么地方？ 问题2：在案例设计中你认为重点体现了三大能力中的哪种能力？ 问题3：本案例设计中在方法与思想方面非常注重，你认为体现哪些方法与思想呢？ 学习活动3 学习活动4 专家点评与反思 50分钟 完成反思小记 1
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 专家评析： 分数的初步认识是在学生认识了平均分的基础上，把平均分实物的经验应用到平均分图形上面，然后用平均分为学生建立表象，促进学生对分数意义的理解。但是如何在学生的认知基础上展开教学？怎样为学生认识分数建立直观表象？又怎样在表象的基础上认识分数？如何使学生真正参与认识分数的过程，真正实现独立思考与创新？下面通过学习材料2的分析可以回答这些问题。 一、概念引入：突出“平均分”在建构分数中的重要作用，让学生切实掌握平均分的方法 分数是建立在平均分这个概念上的，所以理解和掌握平均分的方法，是建构分数概念的重要基础。曾老师一开始就抓住建构分数概念的这个核心概念，采用学具操作和思考相结合的方式，让学生在操作过程中思考“它们的分法不一样，为什么都是平均分呢”，用这种方式来促使学生思考“什么是平均分”，让学生在直观表象的支持下知道“每份同样多，就是平均分”，再通过正误判断的练习，加深学生对平均分的理解，这样让学生切实理解并掌握平均分的方法，为分数的学习打下坚实的基础。 二、概念形成：在直观操作的基础上建构分数的概念，让学生理解并初步掌握分数的意义 小学数学知识很多都是在大量的感性材料的基础上进行抽象概括。由于小学生的思维还处于形象思维为主的阶段，采用大量的感性材料来引入数学知识并让学生理解数学知识是非常必要的，但是学生对知识的掌握不能总是停留在感性认识上，通过抽象概括来让学生掌握知识的本质属性是非常必要的。这样不可避免地就要产生数学知识的抽象性与儿童思维的具体形象性之间的矛盾，怎样解决这种矛盾呢？我们认为最根本的途径是要遵循学生的认知规律，把对数学知识的抽象建立在丰富的感性材料的基础上。通过丰富学生对知识的感性认识、切实搞好形象直观与抽象概括的有机结合这两方面的措施来帮助学生掌握知识的本质属性。 分数的概念是在学生直观操作的基础上建构起来的，所以教学中非常关注直观操作在概念建构中的重要作用，采用“结合我们刚才分图形的过程，想一想在1中，2表示什么，1表示什么，中间这条横线又表示什么？22
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 把你的想法跟你的同桌说一说”的方式，把学生的操作活动与建构分数概念紧密地结合起来，使操作活动中的表象为建构分数起着强有力的支持作用，学生在理解11时要联系操作过程想：“在中，2表示平均分成2份，221表示其中的1份，中间这条横线表示平均分”。这样充分利用学生的操作表象来认识分数，学生容易理解。这样通过形象直观与抽象概括的有机结合来认识分数，能有效地提高学生对分数的掌握水平。 三、概念巩固：采用对比的方法，通过改变平均“分的份数”和“取的份数”，加深学生对分数的理解 本课的教学重点是要求学生理解并掌握在分数中，分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。为了让学生理解这些知识，教学中通过改变平均“分的份数”和“取的份数”， 加深学生对分数的理解。在11到的学24习过程中，老师采用了对比的方法，通过“为什么要把下面这个（分母）2变成4？为什么上面这个（分子）1不变呢？”的提问，让学生感受分母表示平均分的份数，平均分的份数改变了，分母就要随着改变。这样通过分数与分数的对比，让学生理解在分数中平均分的份数和取的份数非常重要，从而在写分数时，重点弄清平均分的份数和取的份数，这样有效地提高了学生对分数的掌握水平。 3
开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 学习材料2 ：“分数的初步认识”教学实录 教学内容：西师版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》三年级上册第94页。 教学目标： 1．通过实践操作经历平均分的过程，经历几分之几的形成过程，初步认识几分之几。 2．初步学会读、写分数。 3．通过一系列的数学活动，培养学生的动手操作能力，观察能力和数学思考与语言表达能力。 4．培养学生学习数学的兴趣，初步的创新意识和合作意识。 教学准备： 教师准备多媒体课件、水彩笔、磁铁；学生准备 2张正方形纸、一支深色的水彩笔、直尺。 教学过程： 一、概念引入：创设数学情景，理解平均分 （板书：平均分） 师：（指着板书）孩子们，知道这节课研究什么吗？ 生：平均分。 师：你们会平均分吗？ 生：会。 师：咱们来试一试。 1．把一张正方形纸平均分成2份。 师：请你拿出一张正方形纸，用折一折的办法把它平均分成2份，开始！ 学生动手分，师巡视。 生上台展示，并说说自己是怎么做的。 师：你们认为这是平均分的吗？ 老师把正方形贴在黑板上。 师：有不同的吗？（请不同分法的学生展示 并说说怎么做的。） 师：看看两个同学的分法，有什么问题要问吗？ （生如果没有，则师问：它们的分法不一样，为什么都是平均分呢？） 引导生：因为两部分的大小相同。 （板书：大小相同） 追问：凭什么说它们大小相同？ 师：原来，每份大小一样才是平均分。 2．把一张正方形纸平均分成4份。 师：再来，现在拿出一张正方形纸，把它平均分成4份，能做到吗？开始! 学生动手分，师巡视。 师收集生作品上台展示。 师：你们认为这是平均分的吗？ 好，我们把它贴在黑板上。 师：为什么分法不同，都是平均分？ 引导生：因为每份的大小相同。 师：用你们掌握的知识判断这些图形是不是平均分。 （出示课件）
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 学习材料1 ：“三位数乘两位数”教学实录 教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》四年级上册第49页例1。 教学目标： 1．让学生经历三位数乘两位数笔算的过程，掌握笔算方法。 2．经历与他人交流笔算方法的过程，培养学生自主探索、合作交流的习惯。 3．使学生感受数学在生活中的应用价值。 教学重点：三位数乘两位数的笔算方法。 教学具准备：课件、题卡，练习纸。 教学过程： 一、复习导入 1．口算。 谈话：我听说我们班同学的计算能力很强，请同学们展示一下。先来口算几道题。依次出示口算卡片：12×3、500×7、15×4、60×70、350×2。 2．估算。 师：大家看（出示卡片197×5≈），这道题的要求是什么? 生：让我们估算。 师：那，约等于多少呢? 生：约等于1000。 3．笔算。 师：大家看这道题，（板书横式）28×12得多少呢? 请同学们笔算出结果。拿出练习本，开始吧。（请一名学生板演） 师：他计算的结果正确吗？ 师生共同检查竖式…… 师：谁能说说怎样笔算两位数乘两位数? 生：笔算两位数乘两位数，先用个位数去乘，再用十位数去乘，然后把两次乘得的数相加。 师：看来同学们对以前学习过的乘法的口算、估算和笔算都掌握得非常好。这节课，我们就来进一步研究乘法的计算方法。（板书：乘法） 二、创设情境，探究新知 1．用多种方法解决问题。 （1）引入例1。 师：请同学们看屏幕（播放录像）。今年是重庆被确立为直辖市的第十年。十年之前，重庆还是一座笼罩在工业烟尘和两江雾霭之中的老城。十年直辖，十年巨变。我们看，现在的重庆已成为一座高楼林立、大桥飞跨、流光溢彩的魅力之都，动感之城。 重庆的确是一座充满魅力的城市。因此，每年都有无数游客到重庆旅游。瞧，小明和他的爸爸妈妈也准备到重庆来旅游，我们看——(播放动画并配音) （2）自主探索，探寻解决问题的方法。 ①交流信息，列出算式。 师：你了解到哪些信息? 生：我了解到小明全家准备乘火车到重庆，火车平均每小时行126千米，从他的家乡到重庆需要12个小时。小明的家乡到重庆有多少千米？ 师：要解决这个问题应该怎样列式? 生1：12×126。 生2：126×12。（随学生发言依次板书算式） ②自主选择计算方法，解决问题。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 师：同学们列出了算式，那结果是多少呢? 请你选择你认为比较合适的方法算一算。 学生自选方法进行计算…… （3）展示、交流。 ①估算方法。 师：刚才我看到同学们有用估算的，还有用笔算的。我们就先请用估算的同学介绍一下估算的方法和结果。 生1：我把126看成130，把12看成10，130乘10等于1300。 师：噢，你估算的结果是1300。(板书：1300) 生2：我把12看成10，126乘10等于1260。 师：你估算的结果是1260。(板书：1260) 生3：我把126看成100，把12看成10。100乘10等于1000。 师：你是把126看成整百数，把12看成整十数。估算的结果是1000。(板书：1000) ②笔算方法。 师：我看到有的同学是笔算出结果的。他们是这样，先写出两个因数 (板书竖式) 126 ×12 谁来说说你笔算的过程?请你来说。 生：二六十二写2进1，二二得四加l得5，一二得二。一六得六。 师：这个6应该写在什么位臵? 生：6应该写在十位上。一二得二，一一得一。最后把两次乘得的结果加起来，等于15120 随学生口述完成板书： 126 × 12 252 l26 1512 师：你说得真清楚。这道题的笔算过程，同学们都明白了吗? 生：明白了。 师：那好，我们请一位刚才没有用笔算的同学，说说这道题的笔算过程。 生：二六十二写2进1，二二得四加l得5，一二得二。一六得六，一二得二，一一得一。最后把两次乘得的结果加起来，等于1512。 师：你说得也很清楚。那，为什么1乘126得数的末位要和因数的十位对齐呢? 生：因为这个1在十位上，乘得的结果是126个十，所以126的末位要与十位对齐。 师：说的很好。（指竖式）计算这道题时，先用12个位上的数2去乘126每一位上的数，再用12十位上的数1去乘126每一位上的数，最后把两次乘得的数相加。 师：刚才这样列式的(指黑板上的算式：12×126)同学，请说一说，你是怎样列竖式的。 生：我列的竖式和他们一样，也是126乘12。 师：大家都知道，两个因数交换位臵，得数不变。以前我们已经学习了一位数乘两位数、两位数乘两位数的笔算，所以你就把两个因数交换位臵列出了竖式，是吗? 生：是的。 师：你真不简单！今后同学们再遇到两位数乘两、三位数．就可以像这位同学一样，交换两个因数的位臵列竖式。 ③用计算器计算。 师：刚才我看到有同学用了计算器，用计算器计算的结果是多少? 生：我用计算器计算的结果是1512。
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 师：看来，我们笔算的结果是正确的。（板书得数和单位名称）同学们今后做完题检查时，也可以用计算器来检查计算的结果是否正确。 师：来，一起把我们解决问题的结果说给现场的老师听。 生：小明的家乡到重庆有1512千米。（随学生回答，板书答案） 2．试一试。 师：笔算的过程都明白了吗?那好，请同学们笔算一道题。（课件出示：134×2l）拿出练习本．试一试吧! 学生独立笔算…… 师：谁来说说笔算过程和结果？ 随学生口述，点击课件，展示笔算过程。 师：他说得怎么样?谁来评价一下。 生1：他计算得很正确，说得也很好。 生2：我认为，他可以贴上一朵红梅花。 师：你看，同学们给了多么高的评价啊！请你贴上一朵红梅花吧！ 3．练一练。 师：看来，同学们都了解了笔算的方法啦。那，我们看看谁能在下面的活动中有出色的表现（课件出示4道题）。请大家从题卡中任选1题，笔算出结果。拿出题卡，开始吧。 老师巡视，发现一些同学做完一题了，提出：再选一题算一算。 师：我看到很多同学都做了2题，真不错。 我们来看看这几位同学做的情况。 在投影上展示学生做的题，集体订正。 师：你们做得怎么样？请小组的同学互相检查一下。（小组互相检查）全对的小组插上一朵红梅花。做了2题并计算正确的同学，在你自己的答题纸上贴一朵红梅花。 4．比较、归纳。 师：请看——（指黑板）今天我们研究的是——三位数乘两位数的笔算方法。（板书：笔算，完善课题板书） 请比较三位数乘两位数和两位数乘两位数的笔算过程，你有什么发现？把你的发现，说给小组的同学听听。（小组交流） 师：谁愿意把自己的发现介绍给大家？ 生1：三位数乘两位数的笔算过程和两位数乘两位数一样，都是先用个位上的数去乘，再用十位上的数去乘，最后把两次乘得的结果加起来。 生2：我觉得三位数乘两位数的笔算过程和两位数乘两位数的笔算方法相同，只不过又多乘了一位数。 师：也就是说（指竖式），用第二个因数个位上和十位上的数分别去乘第一个因数时，不仅要乘个位、十位上的数，还要乘百位上的数。（生点头） 同学们说得很好。笔算三位数乘两位数，先用个位上的数去乘，再用十位上的数去乘，最后再把两次乘得的结果相加。 三、练习、应用 1．检查、改错。点课件，出示三个竖式： 134 152 246 × 16 × 23 × 34 804 156 964 134 304 738 938 3196 8244 师：请同学们帮助小兰、豆豆和小雪检查一下，他们做的题是否正确。如果有错，请说出错在哪里，应该怎么改。同桌两人互相说一说吧。 师：谁来说第一题？
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 生1：第一题错了。她数位对错了，134的4，应该对准十位写。 师：请你来说第二题吧。 生2：第二题错了。他把进位的数当成积来写了。用个位上的3乘152，应该是456。 师：第三题呢? 生3：第三题也错了。她忘了加上进位的数了。四四十六再加上进位的数应该得8。 师：同学们真能干！不仅帮这几位同学找出了错误，而且改正了错误。请想一想，笔算乘法的时候需要注意什么？你想提醒大家什么? 生1：做题时一定要注意对准数位，不要忘记加上进位的数。 生2：做题时要认真细心，以免计算错误。 师：同学们考虑得很全面，老师相信你们在做题时一定能够认真、细心地进行计算。 2．笔算与欣赏。 师：郝老师到重庆已经好几天了，在这几天中，我确实感受到了重庆的美丽，重庆的繁华。你们想看看郝老师的家乡，郑州是什么样子吗? 生：想! 师：（点击课件。呈现练习题）如果你们能够把这6道题正确的计算出来，你们就能看到老师的家乡郑州了。 这样吧，咱们请每个小组做一题。第一组做第一题，第二组做第二题，依次类推。明白了吗？开始吧。 学生做题…… 师：做完的同学在小组内互相检查一下。（学生互相检查） 师：谁愿意代表你们组汇报计算的结果？ 生1：54×145＝7830。 师：你是怎么列竖式的？ 生2：我是用145乘54。 师：你是把两个因数交换位臵列出了竖式，是吗? 生2：是的。 师：我们一起来看看他们组计算的结果是否正确。（点击课件，练习题版块翻转，呈现部分画面）祝贺你们做对了。 生3：328×25＝8200。 师：对吗？我们一起看。（点击课件，练习题版块翻转，呈现部分画面）你们也做对了，真棒。 生4：164×32＝5248。 师：（点击课件，练习题版块翻转，呈现部分画面）做对了，祝贺你们！还剩下3道题，请这3个小组的同学各派一名代表把答案输入到电脑中。 三个学生到台上操作电脑。（随答案输入，练习题版块翻转，呈现完整的画面） 师：都做对了，掌声送给他们。（鼓掌） 师：看，这就是我的家乡郑州。（点击课件，播放郑州市风光图片）她是一座风景优美、人杰地灵的城市，是一座具有悠久历史，又充满现代文明气息的大都市。欢迎同学们到我们郑州去做客。 3．制定购票方案。 （1）创设情境，提供信息。 师：郝老师班上的同学知道我要来重庆和你们一起上课，特意委托我给你们带来他们的问候，同时也带来了他们的一个问题。请大家注意看、注意听。（播放录像） 师：他们提出了一个什么问题？ 生：请我们帮助他们制定一个购票方案。 师：我们班一共有多少人要乘车？
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开展合作探究教师培训指导手册（数学学科） 生：有46名学生，还有2位老师，一共48人。 师：我们来看看票价情况。(课件出示：上铺166元，中铺173元，下铺179元) （2）讨论，交流。 师：请各组同学讨论一下，制定出一个购票方案。 各组学生讨论…… 师：请各组代表介绍制定的购票方案。哪组先来介绍？ 生1：我们组想全买成上铺。这样比较省钱。 生2：我们确定全买成中铺。 生3：我们组想都买成下铺。这样，不用担心上上下下的麻烦，而且很安全。 生4：我们组认为火车上全买成上铺或者下铺是不可能的。应该把48人平均分成3部分，这样应该有16人睡上铺，16人睡中铺，16人睡下铺。 生5：我们可以买24张上铺，24张下铺。 生6：我们觉得可以这样买票。买2张下铺就可以了，让2位老师睡。其他的学生都睡上铺。 师：同学们制定出了这么多种购票方案。真了不起！我们购票一共要花多少钱呢？下课后，请每个小组根据自己的方案计算一下。然后．再从这些方案中选出一个最合理的方案告诉我。我会把它带给我们班的同学。在这里。我先代他们谢谢大家！ 四、课堂总结 师：同学们，回忆一下这节课我们学习的内容。你有什么收获想和大家分享呢？ 生1：我学会了三位数乘两位数的笔算方法，而且还能用它解决实际生活中的问题。 生2：知道了笔算时一定要注意对准数位，计算时要认真、细心。 师：这节课，同学们不仅探索出了三位数乘两位数的笔算方法，而且还能用它解决问题。收获真不少! 今天的家庭作业是练习七的第2题和第4题。 今天的课上到这里，下课。
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