2017年高考数学一轮复习第九章数列第61课等差数列教案

等差数列

一、教学目标

1．理解等差数列的概念；

2．掌握等差数列的通项公式与前项和公式，体会基本量的方法与方程的思想； 3．能在具体的问题情境中，发现等差关系，并能运用有关知识来解决问题； 4．理解等差数列与函数的关系. 二、基础知识回顾与梳理

1、设公差为?2的等差数列，若a1?a4?a7???a97?50，那么a3?a6?a9?…+a99等于 ． 【教学建议】本题主要是帮助学生复习不会整体代入，有整体代入的思想． 教学时，教师可让学生先口答．结合本题，强调整体的思想．

解析：因为a3?a6?a9???a99,a2?a5?a8???a98，a1?a4?a7???a97成等差，公差为

33d??66∴设a3?a6?a9???a99?x，则a2?a5?a8???a98?x?33d，

?x,x?33d,50成等差数列，即2x?132?x?50得x??82.．

2、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____

【教学建议】本题旨在让学生理解等差中项的应用．

3、在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且|a11|＞|a10|，Sn是其前n项和．下列命题：

① 公差d＞0；② {an}为递减数列；③ S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零；④ n＝19时，Sn最小；⑤ n＝10时，Sn最小．其中正确的是________．(填序号)

【教学建议】本题旨在让学生理解项与和的正负以及最值之间的联系，可用多种方法来判断。 4、已知等差数列{an}中，a1??3,11a5?5a8，则前n项和的最小值为 ．

【教学建议】本题选自课本第44页习题．“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和．

an?0??an?0?确定出前多少项为非负（或非正）法一：由不等式组?；（即找正负项的分界点） ?或??????an?1?0??an?1?0?法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性．

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

5、某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm,已知卫生纸的厚度为0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是 米(精确到1mm)?

【教学建议】本题选自课本第42页例题．本题需要将实际问题转化为等差数列问题，在解题过程中要注意每个数据与五个量a1、an,n,a, Sn的关系．本题中空盘时的半径并不是首项，满盘时的半径并不是末项．

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．课堂上重点展示学生的计算过程，关键处要求学生说明解题思路和方法，充分暴露学生的思维过程，使得点评更具有针对性． 2、诊断练习点评

题1：在数列{an}中,若a1?1,an?1?an?2(n?N),则an= , Sn= . 【分析与点评】已知数列的递推关系求通项公式时要先判断该数列是否为等差数列或等比数列．若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推关系变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式． 容易记错公式Sn?na1??n(n?1)n(n?1)d,或Sn?a1?d等． 22

题2：在等差数列?an?中，已知a3?a8?10，则3a5?a7? . 答案：20.

【分析与点评】本题已知a3?a8?10，显然我们只能获得基本量a1,d的关系，而不能直接解出a1,d. 因此3a5?a7必然包涵a1,d的整体能够使用我们从已知中得到的关系． 题3：设Sn为等差数列?an?前n项和,若

a55S?，则9? . a39S5【分析与点评】利用数列的相关性质，能简化解题过程，达到事半功倍的效果．教学中要关注学生的解答，引导学生发现S9?9(a1?a9)与a5之间的关系，用简捷的途径进行计算．通过本题小结两点：①解数列题2一定要注意已知式和所求式之间的内在联系；②等差数列中，S2k?1与ak(k?N?)之间的关系.

题4： 已知等差数列{an}中，公差d?0，且a3a7??16，a4?a6?0，则数列{an}的通项公式为 【分析与点评】方法1可以直接根据等差数列的通项公式代入，得到关于a1,d的二元二次方程组，解出

a1,d，从而求出通项公式，

方法2利用等差数列的性质a4?a6?a3?a7?0再由a3a7??16，d?0解得a3??4,a7?4，从而可以求出公差为2，得通项公式为an?2n?10

本题主要考查对等差数列的基本量的运用以及等差数列的下标和性质的运用。 3、要点归纳

（1）强化 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中运用，用“基本量法”方法求解是处理数列问题的基本方法，要求学生熟练掌握.同时强调，并不是每道题都有捷径，要充分合理地运用条件，时刻注意求解的目标，选择方法时要慎重；

（2）等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用；

（3）在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形； （4）等差数列的所有问题都要向通项公式、性质、前n项和转化；

（5）在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题，是必须具备的能力. 四、范例导析

例1已知等差数列{an}的前项和为Sn，且a10=30，a20=50.

（1）求通项an；（2）若Sn=242，求n；（3）求 前n项和Tn。 【教学处理】在提问学生问题讨论交流后，可教师板书示范，也可让学生练习、板演后点评． 【引导分析与精讲建议】

1、强调应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方程的思想,一般地,可由am?a,an?b,得

?a1?(m?1)d?a,求出a1和d,从而确定通项. ?a?(n?1)d?b?1化归为首项、公差(公比)和项数之间的关系，通过列方程（组）解决问题.这是研究等差(等比)数列的最基本方法.

2、通项公式法：an?kn?b (k，b是常数)( n∈N)??an?是等差数列；

*

也可从等差数列中任意两项之间关系入手(an?am?(n?m)d).

已知数列?an?的前n项和为sn,a1?1,an?0,anan?1??sn?1,其中?为常数。例２：．?1?证明：an?2?an??;

?2?是否存在?，使得?an?为等差数列？并说明理由。【教学处理】本题可让学生自主尝试、相互交流，教师观察巡视并点评． 证明数列?an?是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明an?1?an?d（常数）(n?N?)； （2）利用等差中项，即证明2an?an?1?an?1（n≥2）.

例3：已知在等差数列{an}中，a1?31，Sn是它的前n项的和，S10?S22. ①求Sn； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.

【教学处理】先给学生独立思考的时间，然后指名学生回答问题（1），学生评议，教师评点并板书过程。问题（1）结束后，可让学生讨论后回答，教师板书、点评问题（2）。 【引导分析与精讲建议】

（1）∵S10?a1?a2??a10，S22?a1?a2??a22，又S10?S22，

∴a11?a12??a22?0，则a11?a22?2a1?31d?0，又a1?31，?d??2

∴Sn?na1?n(n?1)d?32n?n2 2（2）方法一：由①中可知Sn?32n?n2??(n?16)2?256， ∴当n?16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：由an?Sn?Sn?1，可得an??2n?33.

3331；由an?1??2n?31?0,得n?； 22 又n为正整数，所以当n?16时，Sn有最大值256.

由an??2n?33?0a，得n?反思：本题考查的知识点是等差数列基本量的求解，数列的函数特性，如何求前n项和的最值问题.

2S?an?bn，

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式n通过配方或借助图象求 二

次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法：

①a1?0,d?0时，满足

?an?0??an?1?0的项数m使得

Sn取得最大值为Sm； Sn取得最小值为Sm.

②当a1?0,d?0时，满足

?an?0??an?1?0的项数m使得

变式题:1、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3?12,S12?0,S13?0. (1) 求公差d的取值范围.(2)求{an}的前n项和为Sn最大时n的值. 2、已知在等差数列{an}中，a1?31，Sn是它的前n项的和，S10?S22.

①求Sn； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.③求使得Sn?0的最大的n。 拓展题:已知数列{an}的首项a1?3，通项an与前n项和为Sn之间满足2an?SnSn?1(n?2)． （1）求证：{1}是等差数列，并求公差； Sn（2）求数列{an}的通项公式；

（3）数列{an}中是否存在自然数k，使得不等式ak?ak?1对任意大于等于k的自然数都成立？若存在求出最小的k值；若不存在，说明理由．

【教学处理】先给学生独立思考的时间，然后指名学生回答问题（1），学生评议，教师评点并板书过程。问题（1）结束后，可让学生板书问题（2），并思考问题（3），学生讨论后回答，教师板书、点评问题（3）。 【引导分析与精讲建议】

（1）利用an与Sn的关系可以实现an与Sn的相互转化，由已知中2an?SnSn?1(n?2)，我们易得

2(Sn?Sn?1)?SnSn?1，两边同除以SnSn?1后，即可得到

项，?11111???(n?2)，即数列{}是以为首

3SnSn?12Sn11为公差的等差数列，即可得到数列{}的通项公式； 2Sn（2）由（1）的结论，结合2an?SnSn?1(n?2)，我们可以得到n≥2时，{an}的通项公式，结合首项a1=3，我们可以得到{an}的通项公式；

（3）令ak?ak?1解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k∈N，即可得到满足条件的k值．

本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列的递推公式．要判断一个数列是否为等差数列最常用的办法就是根据定义，判断an?an?1是否为一个常数． 【备用】设数列?an?的前n项的和为Sn，且对任意n?N都有an?0,SN? （1）求a1,a2的值；

（2）求数列?an?的通项公式． 解：（1）当n?1时，有a1?S1?当n?2时，有S2?（2）由Sn?333a13?a2?a3??33a13?a2?a3?3?an.

a13， an?0,?a1?1.

3a13?a2?a1?a2,a1?1,an?0,?a2?2. 3333?an得a1?a2?a3?3?an??a1?a2?a3??an?①，

2 同时有a1?a2?a3?3333?an?an?1??a1?a2?a3??an?1?②

2

由②-①，得an?1?a1?a2?a3?3??an?1???a1?a2?a3?2?an?

?an?1??2?a1?a2?a3?2 因为an?0，所以an?1?2a1?a2?a3?2 同理有，an?2a1?a2?a3??an??an?1?? ?an??an?1 ③

???an?1??an ④

22由③-④，得an?1?an?an?1?an，整理，得an?1?an?1.由于a2?a1?1，

故当n?2时，都有an?1?an?1.所以数列?an?为首项是1，公差是1的等差数列， 所求通项公式为an?n.

【评注】在处理数列中由an,Sn组成的关系时，基本转化方法有两个，一个是把Sn转化为an，

建立数列通项的递推关系，一个是把an化为Sn，建立Sn的递推关系，解题时要根据实际情况灵活掌握。 五、解题反思

1．确定等差数列的关键是确定首项a1和公差d．解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a和d(q)的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

2．等差数列通项公式中联系着五个量：a1，d，n，an，Sn，根据方程的思想已知其中三个量，可求出另外两个量．

3．若奇数个数成等差数列，且和为定值时，可设中间三个数为a-d，a，a+d，偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两数为a-d，a+d．

4．数列是一种特殊的函数，求解数列的问题时要注意函数思想，方程思想及化归思想的应用．

?an?1?an?d（定义）?2an?1?an?an?2{an}为等差数列?? ??an?An?B（关于n的“一次函数”）?S?An2?Bn（缺常数项的“二次函数”）?nSn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d中，有五个量a1、an,n,a, Sn通过解方程(组)知三可求二，a1和22d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知，是常用的方法．方程(组)的数学思想方法在数列部

分应用很广泛，注意运用．

5. 求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解．（经过原点）启示： ①寻找分界点??an?0?an?0或?；②借助二次函数图象；③等差数列中前n项和有最小值，一定是该

?an?1?0?an?1?0数列中前面是负数，后面是正数，当然各负数之和最小；另外，等差数列Sn是n的二次函数且不含常数项，也可由函数解析式求最值.

6. 已知通项an,可以求出前n项和Sn,反之,给出Sn,也可以求出an.而且很多时候,题目中出现的是同时

涉及an与Sn的关系式,这类问题的解决办法是利用转化与划归的思想,实现an与Sn的相互转化.此时,要注意“n?2”的限定条件,以免误解.

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