由两节公开课谈思维活动的教学——江琦(2)

（3）实施题组教学

教师A在推导出等差数列前n项和的两个公式后，给出一组练习： 1、求1?2?3???n?；

2、求正整数列前n个偶数的和； 3、1?3?5???(2n?1)?；

该教师进行了如下教学：让学生思考1，教师讲解1；然后让学生思考2，教师讲解2；最后让学生思考3，教师讲解3。以上的教学处理，可采用题组教学法，即让学生将几道题均解答完后，再让学生同时展示各题的解答，最后进行集中点评，引导提升。

教师B在推导出等差数列前n项和的两个公式后，给了一组对比题： 求下列等差数列的前n项和Sn 1、a1?2,an?28,n?4 2、a1?2,d??3,n?10

这一组对比试题为学生选择恰当的求和公式提供了很好的范例，起到巩固熟

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练知识点的作用。笔者认为可以再加上一题：3、a3?6,a7?12,n?9。让学生体会求和公式是可以相互转换的，做题时尽量选择较为简便的即可。

这种题组式的集中教学，教师插话和讲解很少，学生思维的时间和空间充分。 4.关注“人文价值”，促进思维活动教学

特级教师张乃达老师说过“数学教学是一个‘意义赋予’和‘文化继承’的 过程。”学生在数学思维活动中完成“意义赋予”和“文化继承”的任务。教师在教学活动设计时，如果考虑到这种人文价值，将会对教学事半功倍，激发学生的学习动力。开课的两位老师都注意到了这一点：

教师A在结束等差数列前n项和的教学内容后，结合当下时政，给出了这样一个问题：国家将发展校园足球纳入基本国策，我校决定从2015年开始每年成等差的提高投入校园足球的经费，假设2015年投入5万，以后每年多投入5000，问到2025年，累计投入校园足球多少万元？

教师B则是抛出了一个我国古代数学大师章丘建的织布问题：有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？

这两个问题，是让学生着手解决实际问题。它的作用是有多方面的：①可以检测学生对本节课内容的掌握程度，是否可以自己解决。②可以帮助学生找到“建构数学模型”的方向。③这两个问题可以成为进一步讨论和交流的平台。④体会数学的人文价值，激发学生探究的乐趣。

数学不仅具有重要的科学价值，同时还具有丰富的人文价值。教师在数学教学中往往比较重视其科学价值，而忽略对其人文精神的提升。事实上，数学知识所具有的人文教育功能是数学素质教育内在的必然要求，它在一定程度上也会刺激学生的科学思维。教师可以通过人文性的思维活动，使学生产生强烈的内驱力，产生对数学持久的兴趣，以促进教学思维活动的积极性。

5．一题多解，提升思维层次

由于本次公开课的主题是等差数列前n项和的第一课时，两位老师都将重点放在公式的推导过程中，只用几个简单的例题作为选择运用公式的范例。笔者建议在第二课时的例题教学设计中可以采用一题多解的形式，培养学生思维的广度和深度。通过一题多解可以训练思维的多向性、变通性、直觉性。下面以有关于

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等差数列前n项和的一个解题案例为载体，提供一个引导学生学思维、优化思维品质的案例分析。

例：等差数列{an}中，前m项与前n项的和Sm?Sn（m?n），求：Sm?n的值。

解法1：设等差数列的公差为d，由：Sm?Sn（m?n）可得：

m(m?1)n(n?1)d?na1?d 22m?n?1d?0 化简得：a1?2(m?n)(m?n?1)d 所以：Sm?n?(m?n)a1?2m?n?1d)?0 ?(m?n)(a1?2ma1?这种解法上手容易，但运算较繁。如果我们对数列的认识更深刻些，知道前n项的和Sn?An2?Bn，其中A?dd，B?a1?，则可以产生如下解法： 22解法2：Sn?Sm?(An2?Bn)?(Am2?Bm)?0 化简得：A(m?n)?B?0 所以：Sm?n?A(m?n)2?B(m?n) ?(m?n)[A(m?n)?B]?0

这种算法因为运用了换元，所以运算量较小，式子看起来也显得简洁。如果我们再由Sn?An2?Bn联想到二次函数的图象，就可以产生如下解法：

解法3：由Sn?An2?Bx是过原点的抛物线。Bn，不妨设A?0，而y?Ax2?由：Sm?Sn（m?n）可知：抛物线的对称轴方程是：x?m?n，由图象可以看2出，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是m?n。即：

y?A(m?2)n?(Bm??)Smn?n?0

该解法之所以简单就在于利用数形结合，看清楚了这个问题的本质。由此可见，对事物的认识越深刻，产生的解法就越简捷。

但这三种解法都未达到深刻思维的层次，关键在于未能抓住题目的本质。解

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决该题的关键不是对“等差数列”的认识，而在于对“等差数列中若干项和”的认识。抓住了这一本质，结合等差数列性质，便可得到一个非常流畅的解法。

解法4：题目隐含的条件是由Sm?Sn（m?n），Sm?n这连续的m?n项中，有连续的n?m（假设n?m）项之和为零，而在这n?m项前后各有m项，这前面的m项与后面的m项它们的和也为零。

前三种解法主要体现了思维的广阔性，即能从数与形两个维度上去多方探寻解题思路。这种思维仅仅停留在等差数列前n项求和公式（解法1、解法2）的直接运用上，缺少公式间的沟通与综合；也停留在图形（解法3）的直观理解上，缺少代数上的自觉揭示，图形的对称结构也缺乏语言表达，思维层次的专业分析亦过于粗略。解法4从思维深刻性上进一步指出“等差数列中有连续的n?m（假设n?m）项之和为零”，这比只认识等差数列前进了一步。

事实上，解法1、2、4的逻辑结构是相同的，这三种解法都形式不同地包含有其值为零的三个等式，不仅有重复的嫌疑，而且单个的等式妨碍了式子与式子之间的等号连接，直接寻找和式Sm、Sn、Sm?n间的联系可以减少多余的思路回路。

解法5： Sn?Sm?am?1?am?2???an?Sm?n?a1?am?n(m?n) 2a?a?m?1n(m?n) 2S?Sm?n(m?n)?0 n?mam?1?an(n?m) 2这个解法，前后两次用到等差数列求和公式，中间用等差中项的性质沟通，将Sn?Sm与Sm?n用等号连接起来，一气呵成。这个解法还表明，解法3中图象所对应着代数上的简洁快捷。反过来解法5只不过是解法3的代数表达。两类信息的相互对应，正是我们常说的数形结合，体现了本质对推广的作用。

作为思维广阔性的体现，还可以继续引导学生与二次方程的沟通（未必简捷），提供更多的解法。

教师在例题设计环节中应当充分认识到一题多解对训练学生数学思维的重要作用，有层次、有梯度地用最少的题量完成更多的思维训练活动。若只是重复

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