2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）(3)

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∴AB⊥平面PAC， ∵AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC；

（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA，

∵PA?平面CEF，EF?平面CEF， ∴PA∥平面CEF．

20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，Sn+1=4an+2． （1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式．

【解答】（1）证明：由已知得a1+a2=4a1+2，解得a2=8，b1=a2﹣2a1=4． 又有an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣（4an+2）=4an+1﹣4an， 所以an+2﹣2an+1=2（an+1﹣2an），即bn+1=2bn， 因此数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列． （2）解：由（1）得等比数列{bn}中b1=4，q=2， 所以

，

，

因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，21．（12分）已知f（x）=ln（a+x）﹣x． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当x＞0时，（3）求证：当

，

恒成立，求a的取值范围； 时，

﹣1=

，

．

【解答】解：（1）∵f′（x）=令f′（x）=0，解得：x=1﹣a，

∴x∈（﹣a，1﹣a）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣a，+∞）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（﹣a，1﹣a）递增，在（1﹣a，+∞）递减；

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.

（2）令g（x）=f（x）+故x+a＞令t=

，即a＞

=ln（x+a）+﹣x恒成立，

﹣x=ln（x+a）﹣＞0，

∈（0，1），则a＞et+

，则φ′（t）=

恒成立， ﹣

，

令φ（t）=et+

下面证明φ′（t）＜0，

∵e﹣t＞﹣t+1，且t∈（0，1）时，（t﹣1）2﹣（﹣t+1）=t2﹣t＜0， ∴e﹣t＞﹣t+1＞（t﹣1）2＞0， ∴φ′（t）=et﹣

＜0，∴φ（t）递减，

∴a≥φ（0）=1，即a的范围是[1，+∞）； （3）由（2）可知：a=1，x＞0时，ln（x+1）＞当x∈（0，

，

）时，令m（x）=x﹣sinx，则m′（x）=1﹣cosx＞0，

∴m（x）递增，∴m（x）＞0，即x＞sinx＞0， 又n（x）=故故

＞

在（0，+∞）递增， ，

．

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=点，求|AB|的值．

【解答】解：（1）圆C的参数方程为（y+6）2=25，

极坐标方程为ρ2+12ρsinθ+11=0；

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（α为参数），

，l与C交于A，B两

（α为参数），普通方程为x2+

.

（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=﹣12sinα0，ρ1ρ2=11 ∵tanα0=

，∴sin2α0=，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=

=6．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+3|． （1）求不等式f（x）≤3的解集；

（2）若不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|≤3， 当x≤﹣3时2﹣x+x+3≤3解集为空集；

当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）≤3解得﹣2＜x＜2； 当x≥2时x﹣2﹣（x+3）≤3解得x≥2； 故所求不等式的解集为[﹣2，+∞）．

（2）因为|f（x）|=||x﹣2|﹣|x+3||≤|x﹣2﹣x﹣3|=5， 所以﹣5≤f（x）≤5，即f（x）的最小值为﹣5，

要不等式f（x）＜a2﹣6a解集非空，需f（x）min＜a2﹣6a， 从而a2﹣6a+5＞0，解得a＜1或a＞5，

所以a的取值范围为（﹣∞，1）∪（5，+∞）．

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