关于山猫问题的数学模型

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 海南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张勇华 2. 郭敏 3. 宋国进 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010 年 7 月 19 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

濒危物种(山猫)的自然演变

摘要

根据所给题目，本文运用差分方程模型，结合数值计算和编程软件，建立了山猫数量的演变模型。该模型生动形象的刻画了在各种不同的环境条件下，山猫数量的演变过程及最终结果，并根据所得数据在保护山猫种群方面，给出了一些建议。

针对问题一，我们建立一个一阶线性常系数差分方程，然后利用MATLAB软件，得到了所需的数据与图形。且由图可知，在较好和中等的自然环境下，山猫数量逐年增多（较好环境下增长速度更快）；而在较差的自然环境下，山猫数量逐年减少，趋于灭绝。

针对问题二，根据问题一的方程稍作修改，利用MATLAB软件便得到了数据。并由数据可知，若每年捕获3只，则山猫数量在每种环境下都将逐年减少，濒临灭绝；若每年捕获1只，其数量则只有在较好自然环境下缓慢的逐年增多，在其它环境下逐年减少，趋于灭绝。

针对问题三，我们利用了C++编程，对其求解，并利用MATLAB软件进行了画图。最终得到，为使较差环境下山猫数量稳定在60只左右，平均每年需繁殖3只山猫。再结合前两问的结果可见，在不同的自然环境及人工干预下，山猫的数量变化趋势将大不相同。我们可以根据不同的自然环境通过计算分析，选择合适的人工干预的程度，从而使生态稳定。

关键字：差分方程模型 MATLAB软件 C++编程 一阶线性常系数差分方程

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一、 问题的重述

一般人都认为，只有老虎才是真正濒临灭绝的猫科动物，但实际上，真正危

险的是不大引人注意的伊比利亚山猫。山猫随着生存环境的破坏和它们的主要食物———野兔数量的大量减少而濒临灭绝。此外，汽车在高速公路上急驶时，也经常会在无意中撞死无辜的山猫。其它一些山猫还被那些用来捕获野兔和狐狸的陷阱中的铁棍扎伤或杀死。猎人每年都捕杀大量山猫，其实他们并不知道这是一种濒临灭绝的珍稀动物。

据调查某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%， 0.55%和-4.50%，假设开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势。

(1)3种自然环境下25年的变化过程(作图) (2)如果每年捕获3只，会发生什么情况? 山猫会灭绝吗?如果每年只捕获1只呢? (3)在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只?

二、 模型的假设

1．假设本题只考虑不同自然环境对山猫数量的影响，不考虑其他任何随机因素的影响（如自然灾害等）。

2．在本题中暂不考虑环境所能容纳的山猫的最大数量，假设其没有上限。 3．对本题第三问的条件“想要山猫的数量稳定在60只左右”理解为“想要山猫的数量稳定在56只到64只之间”。

三、 模型的建立和求解

分析：本题所需考察的山猫数量，其时间变量是以1年为单位的，它已经离散化了，因此可用差分方程建立动态离散模型。

第一问的求解：

模型的建立及其求解：据题意，可建立一个一阶线性常系数差分方程。

记第k年山猫的数量为X(k),自然环境下的年平均增长率为r,且a=1+r,则第k+1年山猫的数量为

X(k+1)= a*X(k)+b, a=1+r,k=0,1,2,? （3）

在较好、中等和较差的自然环境下，以r=0.0168, 0.0055和-0.045以及X(0)=100,b=0代入，我们利用MALAB计算并作图，递推25年后观察山猫的数量变化情况.其程序如下所示：

首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=fun(n,r) a=1+r; x=100;

2

for k=1:n

x(k+1)=a*x(k); end

在command窗口里调用fun函数 k=(0:25)';

y1=fun(25,0.0168); y2=fun(25,0.0055); y3=fun(25,-0.045); round([k,y1',y2',y3'])

plot(k,y1,'-',k,y2,':',k,y3,'-.') axis([0 25 20 200]) xlabel('年数');

ylabel('山猫的数量');

title('3种自然环境下25年的变化过程');

legend('较好自然环境下','中等自然环境下','较差自然环境下');

这样就得到了山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程的数据（表1）和图像（图1），如下所示：

表1:山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程(b=0) 年份 较好自然环境下 中等自然环境下 较差自然环境下 （r=0.0168） （r=0.0055） （r=-0.045） 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36

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