数学建模 - 食品质量安全抽检数据分析(4)

????x???x???x)2?min，[4] ?i)??(yi??Q??(yi?y01122332i?1i?1ll?,??,??,??的标准方程组，为 由此可以得到求解?0123??Q????0???Q????i??0??0?0,i?1,2,3。 ?0??i??i我们通过借助SPSS软件直接解出上述方程组，从而得出相应的回归结果如

下表所示。

表10 偏回归系数

a

项目 (常量) 季度 类别 经销地

? 非标准化系数?0.916

0.106 0.198 -0.141

标准误差 标准系数 0.518 0.046 0.085 0.064

0.099 0.1 -0.095

t 1.769 2.296 2.32 -2.218

Sig. 0.078 0.022 0.021 0.027

1

注：因变量指不合格个数

根据上表的结果，由未标准化的回归系数可知，可以得到最后的拟合效果为

y?0.106?x1?0.198?x2-0.141?x3?0.916。

从Sig.的取值可知，季度、类别和经销地的系数都是有统计学意义的。 考虑到各因素之间的相互影响，本文还对这三个自变量之间的关系进行了共线性检验，借助SPSS软件直接得到检验结果。

表11 共线性诊断表

a

模型 维数 1

特征值 3.531 0.213 0.198 0.058

条件索引 1.000 4.076 4.222 7.812

(常量) 方差比例 0.01 0.00 0.00 0.99

季度方差比例 0.01 0.64 0.06 0.28

类别方差比例 0.01 0.03 0.59 0.36

经销地方差比例 0.01 0.32 0.35 0.31

1

2 3 4

注：因变量指不合格个数

上表为模型的共线性检验结果，由表可知，特征值均不等于0，说明不存在共线性问题。同时，条件指数均小于30，所以综合以上数据，该模型中不存在共线性的问题。 （5）判断拟合优度

Ⅰ.多重判定系数

对于多元线性回归方程，我们需要用多重判定系数来评价其拟合优度。而对多元回归中因变量离差平方和的分解有以下这个式子

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?i)??(y?i?y)2?SSE?SSR。 SST??(yi?y)??(yi?y22i?1i?1i?1nnn其中SST表示总平方和，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和。

由于这3个平方和的计算非常麻烦，所以可以直接利用SPSS软件输出结果。

表12 Anova

a

模型 1

回归

残差 总计

平方和 174.189 5859.657 6033.847

df 3 524 527

均方 58.063 11.183

F 5.192

Sig. 0.002

b

注：因变量指不合格个数；预测变量包括(常量)、经销地、类别、季度。

上表给出了对回归模型进行方差分析的结果，F统计量值为5.192，相应的Sig.是F值的实际显著性概率，这里Sig.?0.02?0.05，所以拒绝原假设H0，认为回归方程线性关系显著。

有了这些平方和，可以将多重判定系数定义公式如下

SSRSSER2??1?，

SSTSST其中要求0?R2?1,R2越接近于1，回归平面拟合程度越高，反之，R2越接近于0，拟合程度越低。

判定系数R2的大小受到自变量x的个数k的影响。在实际回归分析中可以看到随着自变量x的个数的增加，回归平方和(SSR)增大，使R2增大。由于增加自变量个数引起的R2增大与拟合好坏无关，因此在自变量个数k不同的回归方程之间比较拟合程度时，R2就不是一个合适的指标，必须加以修正或调整。

为了避免增加自变量而高估R2，统计学家提出用样本量n和自变量的个数k去修正R2，计算出修正的多重判定系数，其计算公式为

2Rn?1?(1?R2)n?1。

n?k?122的解释和R2类似，不同的是Rn同时考虑了样本量n和模型中自变量的个Rn22数k的影响，这就使Rn的值永远小于R2，而且Rn的值不会由于模型中自变量个

数的增加而越来越接近于1。因此，，在多元回归分析中，通常用修正的多重判定系数。R2的平方根称为多重相关系数，也称为复相关系数，它度量了因变量同k个自变量的相关程度。

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Ⅱ.估计标准误差

多元线性回归中的估计标准误差是对误差项?的方差?2的一个估计值，它在衡量多元线性回归方程的拟合优度方面也起着重要作用，计算公式为

Se??)?(y?yii2n?k?1?SSE[5]

?MSE。

n?k?1多元线性回归中的Se所估计的是预测误差的标准差，其含义是根据自变量

x1,x2,...,xk来预测因变量y时的平均预测误差。

表13 回归模型描述表

模型 1

R 0.170

a

R方 0.029

调整R方 0.023

标准估计的误差 3.344

Durbin-Watson 1.508

注：预测变量包括(常量)、经销地、类别、季度；因变量指不合格个数

表12给出了回归模型的描述表，也是对模型拟合度的检验结果。总体来说，回归模型对产品的质量效果预测比较好。由上表可知，复相关系数R=0.170，多重判断系数R2?0.029，调整后的判定系数为R2?0.023,与R2接近，表明其拟合效果还是可以接受的。 （6）计算偏回归平方和

由于利用偏回归平方和Qi可以衡量每个变量在回归中所起的作用大小（即影响程度），设S回是p个变量所引起的回归平方和，S回1是p-1个变量所引起的回归平方和（即除去xi），则偏回归平方和Qi为：

bQi=S回-S回1=?bjBj-?bjBj=i。

ciij?1j?0*pp2就是去掉变量xi后，回归平方和所减少的量。

分别把季度、类别、经销地去掉，研究不合格个数与另外两个因素的线性回

归关系，这里只给出方差分析表，其余具体结果见附录。

表14 方差分析表

a

Anova 序号 项目 回归

平方和 115.219 5918.628

df 2 525

均方 57.609 11.274

F 5.11

Sig. 0.006b

预测变量（常量） 经销地、类

别

1

残差

18

续表14

回归

2

残差 回归

3

残差

5914.668

525

11.266

注：因变量指不合格个数

113.981 5919.865 119.178

2 525 2

56.991 11.276 59.589

5.054 5.289

0.007b 0.005b

经销地、季

度

类别、季度

令Q1、Q2、Q3分别表示把季度、类别、经销地去除后的偏回归平方和，

S回为总回归平方和，S回1、S回2、S回3分别为把季度、类别、经销地去除后的回归平方和，则可以得到以下三个结果

Q1?S回-S回1=174.189-115.219=58.97， Q2?S回-S回2=174.189-113.981=60.208， Q3?S回-S回3=174.189-119.178=50.011。

从上面的结果可以得出这三者之间的大小关系为

Q2>Q1>Q3。

从Sig.的取值可知，季度、类别和经销地的系数都是有统计学意义的。 5.2.3结果分析

根据Qi的大小可判断各因素对食品安全系数的影响程度为：

类别>季度>经销地

即在食品质量影响因素中食品类别影响最大，季节影响一般，经销地影响最小。 5.3问题三的模型

深圳市是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一，然而不管是深圳，还是其它任何城市，它们的食品都是经过较多的中间环节和长途运输后才为广大群众所消费，因此在任何一个环节上出现差错，都会导致食品出现卫生与安全问题。在其它方面，由于对食品的检测也需要一定的人力、财力等费用，那么需要的时间越长，其成本费用也就越高。因此，本节为了能够得到较好的检测结果，又能节约时间和费用，特地进行了分层抽样模型。在进行分层抽样之前，需要对影响食品卫生的四个主要因素进行层次分析，确定它们在影响食品质量时的权重，而这些权重已经在第一问中求解得出。 5.3.1分层抽样

设不合格食品的总体以类别划分为6个层，以k表示层的编号，k?1,2,...,6，这里的第k层含有不合格产品的批次为Nk，令不合格总产品数的总量为N，则有

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?Nk?16k?N，

因而各层的层权为

?k?Nk， N且从不合格总产品中抽出的总样本容量为n，从每个层内抽取的样本数记为nk。

令Ykt和ykt分别表示第k层不合格总产品和样本中的第t个地区的指标值，则有k层不合格产品的总体均值及样本均值分别为

1Yk?Nk1Y,y??itknki?1Nk[6]

，y?it

nki?1同时，k层不合格产品的总体方差及样本方差分别为

1Nk1nk[7]22S?(Ykt?Yk),sk?(ykt?yk)2， ??Nk?1i?1nk?1i?12k又有Y的估计量是

y???kyk，

k?16从而得到y方差的无偏估计[2]为

v(y)??k?16?k2Sk2nk??k?16?k2Sk2N。

其中第二部分与nk无关。

令

v??k?16?k2Sk2nk，

当v最小时，得到的nk即为最优的抽检方案。而在实际抽检中，为了使模型更贴近实际，还需要确定分层抽样检验的费用总额为：

C总?C0??nkCk，

k?16其中的C0为抽检各产品及地区时的固定费用，Ck为抽检第h层地区时的平均费用。

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