(2010.06.28)几何基础综合 练习讲解（文本）

（2010.06.28）几何基础综合练习讲解（文本）

方子春：大家好，欢迎大家来这里进行教学交互。

上次交互重点讲了一些计算证明题，本次重点讲一些填空、选择题。 填空题1

1. 菱形在仿射变换下变成_________．

????2．设a?{?2,6,x}，b?{1,?3,?1}，若a∥b3．射影对应把梯形变成__________．

?x??kx4. ?是________变换, 它是特殊的_______变换．

?y?ky?，则x?__________．

5．两个点列间射影对应由________对应点唯一确定． 6．二阶曲线就是_______的全体．

7．两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是____________． 8．由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过_________． 9．证明公理体系的和谐性常用_______法．

10．设(AC,BD)?2，则(AB,CD)?______________． 填空题1答案

1. 平行四边形 2．?2 3. 任意四边形 4．位似，仿射 5. 三对

6．两个射影线束对应直线交点 7. 一条二次曲线 8．中心 9. 模型 10．?1

填空题2

1．梯形在仿射对应下的对应图形是____________． 解 梯形．因为平行性是仿射不变形．

2．等腰三角形在仿射对应下的对应图形是_________． 解 任意三角形．因为距离不是仿射不变量．

3．两个全等的矩形在仿射对应下的对应图形是_________________________． 解 两个面积相等的平行四边形．因为仿射对应保持平行性、保持多边形面积之比不变,

但不保垂直性．

4．两个位似三角形在仿射对应下的对应图形是__________________． 解 两个位似三角形．因为仿射对应保结合性和单比不变． 5．_________________称为仿射不变性和仿射不变量． 解 经过一切透视仿射不改变的性质和数量．

6．平面内_________对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一仿射变换． 解 三．

7．点坐标为(1,0,0)的方程是_______． 解 u1?0．

28．u12?u2?0代表点_______的方程．

解 (1，1，0)，(1，-1，0)．

9．已知共线四点A、B、C、D的交比(AB,CD)?2，则(CA,BD)?_______． 解 －１．

10．对合由_______唯一决定． 解 两对不同的对应元素．

填空题3

???1．若向量a?{1,0,?2}，b?{?1,x,?1}，c?{0,?1,y}首尾相连构成三角形，则

x?________，y?________．

????2．设向量a?{?1,2,?1}，b?{2,x,0}，则a?b 的充分必要条件是x?________．

3．正方形在仿射对应下的象是_______________．

4. 仿射变换把菱形变成_______________．

5．直线x1?2x2?0上无穷远点的齐次坐标为_____________． 6．点(1,2,?1)的非齐次坐标为____________． 7．y轴的齐次线坐标为_____________． 8．y轴上无穷远点的齐次坐标为_____________．

9．若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成_____________． 10．两个点列间射影对应由_______对对应点唯一确定．

11．射影对应把三角形中位线变成_______________． 12．命题“三直线两两相交”的对偶命题是___________.

13．三个点a??a1,a2,a3?、b??b1,b2,b3?、c??c1,c2,c3?共线的条件为_________． 14．给定无三线共点的________条直线，可决定唯一一条二级曲线．

15．三直线a??a1,a2,a3?，b??b1,b2,b3? ，c??c1,c2,c3?共点的充要条件为

_______________．

16．射影对应把矩形变成_______________．

17．设二次曲线?与无穷远直线l?相交于两点T1,T2，那么以交点T1,T2为切点的切线是二次曲线?的________________．

18．设A,B,C是有向直线上的三点，当C?B时，简比(ABC)?_______________． 19．平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做_______________．

填空题3答案

1．1，3 2．1

3．平行四边形 4. 平行四边形

15．(1,?,0)

26．(?1,?2) 7．[1,0,0] 8．(1,0,0) 9．透视对应 10．三

11．相交于两腰的任意一条直线． 12．三点两两确定一直线．

a1a2b2c2a3b3?0 c313．b1c114．五

a1a2b2c2a3b3?0 c315．b1c1

16．任意四边形 17．渐近线 18．?

19. 仿射平面

单项选择题1

???? 1．设a?{?2,6,x}，b?{1,?3,?1}，若a∥b，则（

）．

A．x??2 B．x??2 C．x?3

D．x?1

????2．非零向量a与b的内积a?b?0，那么（ ）.

??A. a与b平行

??B. a与b垂直

??C．a与b线性相关

D.无法判定 ）．

B． 两对对应点唯一确定 D． 无限对对应点唯一确定

3．点列之间的射影对应是由（

A．四对对应点唯一确定

C．三对对应点唯一确定

????4．设a?{1,0,x}，b?{1,?3,?1}，若a?b，则（ ）．

A．x?2 C．x?3

B．x??2

D．x?1

）．

5．设二次曲线?，若极点为无穷远点，则?在此处与无穷远直线（

A．不相切

B．有两个不同交点

C．相离

D．相切

6．下列性质（ ）是仿射性质．

Ａ．三角形三条中线交于一点； Ｂ．三角形三条高线交于一点；

Ｃ．三角形内接于一个圆； Ｄ．角平分线上一点到角的两边距离相等． 7．极线上的点与极点（ A．共轭

）．

B．不共轭 D．不可判定

C．可能不共轭

8．在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.

A.三角形与圆

B.圆与椭圆

C.四边形与正方形 D.等腰三角形与直角三角形 9．在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。 A． 角度

B． 交比

C． 面积 D． 长度

）．

B． 两对对应点唯一确定 D． 无限对对应点唯一确定

10．点列之间的射影对应是由（

A．四对对应点唯一确定 C．三对对应点唯一确定

单项选择题1答案

１．Ａ 2．B 3．Ｃ 4．D 5．Ｄ 6．A 7．Ａ 8．A 9．Ｂ 10．C

单项选择题2

二、单项选择题

????1．非零向量a与b的内积a?b?0，那么（ ）. ?? A. a与b平行

??B. a与b垂直

?? C．a与b线性相关

D.无法判定

????????解 选B．由定义1.4，a?b?a?b?cos?a,b?，所以，a与b垂直的充要条件是??a?b?0．

??2．若向量a与b线性相关，那么（ ）.

?? A． 存在实数k1,k2，使k1a?k2b?0

?? B． 存在不全为0的实数k1,k2，使k1a?k2b?0

?? C．a与b不平行 ?? D．a与b垂直

解 选Ｂ．由向量的线性相关性定义即可得出． 3．下列性质（ ）是仿射性质． Ａ．三角形三条中线交于一点； Ｂ．三角形三条高线交于一点； Ｃ．三角形内接于一个圆；

Ｄ．角平分线上一点到角的两边距离相等． 解 选Ａ．简比是仿射不变量．

??4.设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（ ）．

????A．a?b?ab

???? B． a?b?ab

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