重庆大学高数（工学下）期末试题一（含答案）(2)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

五、 证明题(每小题6分,共12分)

xy?,(x,y)?(0,0)?2219．试证:f(x,y)??x?y在点(0,0)处偏导数存在,但

?0, (x,y)?(0,0)?n(n?1)xn?2?nxn?1?x??xy???y??y?x?????222(n!)n?2n?1(n!)n?0(n!)??n(n?1)xn?1?nxn?1xn?????1?1?? 222(n!)(n!)(n!)n?2n?2n?1???xn?1xn?1xn??????n?2n!(n?2)!n?2n!(n?1)!n?1n!n!?是不可微.

知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1

分析:先求出fx(0,0),fy(0,0)然后说明?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y不是比??(?x)2?(?y)2更高阶的无穷小量就可以了.

lim证明 : ?x?0f(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0);

?x??xnxnxn??????2n?1(n?1)!(n?1)!n?1(n?1)!n!n?1(n!)?(n?1)?(n?1)nx(n?1)!n!n?1?0???方程xy???y??y?0成立.

?

六、应用题 (每小题8分,共16分)

21. 设球在动点P?x,y,z?处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m的非均匀球体x2?y2?z2?R2对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.

解:设球体方程为?:x2?y2?z2?R2,密度函数??kx2?y2?z2,则球体的质量为:

m?????(x,y,z)dxdydz?k???x?y?zdxdydz?k?d??sin?d??r3dr?k?R4??0002222?同理, fy(0,0)?0. 则lim??0?z??lim?z(?x)2?(?y)2?x?0?y?0?lim?x?y. ?x?0(?x)2?(?y)2?y?0但是此极限不存在,故f(x,y)在(0,0)处不可微.

xn20. 证明:级数y??满足方程xy???y??y?0. 2(n!)n?0?知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.

??xnnxn?1n(n?1)xn?2. 证明: 因为y??2,所以y???2,y????2(n!)(n!)(n!)n?0n?1n?2??R

所以,密度函数为??m?R4x2?y2?z2.

重庆大学2015版试卷标准格式

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

计算该球体绕z轴转动的转动惯量:

I????(x2?y2)?(x,y,z)dxdydz??

?y2)x2?y2?z2dxdydzm?R4???(x?2

m??R4?2?0d??sin?d??0?3R0?2422rdr?mR?sin3?d??mR20395

22．将质量为m的物体垂直上抛,假设初始速度为v0,空气阻力与速度成正比(比例系数为k),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.

知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.

解: 根据条件,空气阻力为kv.于是物体上升过程中受力为

?(kv?mg)(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度

为a?dv.因而得微分方程 dtdvm??kv?mg. dt又知初始速度为v0,故得初值问题

?dvk??v??g, ?dtm??v(0)?v0.因此

v?e??0mdttk(??ge0t?0mdttkdt?v0)?e?ktmkk?kttt?gmmgmmg?mm(e??v0)?(e?1)?v0e.kkk重庆大学2015版试卷标准格式

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