重庆大学高数（工学下）期末试题一（含答案）

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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷

20 — 20 学年 第 学期

2. 微分方程exdy?ey?y6?x3y3 的一个解为(dx).

(A)y?6 (B)y?x?6 (C)y??x (D)y?x

命题人: 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).

考试方式：组题人 密 名姓 弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院学

考试时间: 120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有

得 分 y?x满足方程,故应选(D).

2 3. 累次积分?0dx?2?y2xedy?().

考试提示 (A)1(1?e?2) (B)123(1?e?4) (C)1(1?e?4) (D)1(1?e?2) 23 1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他答案:(C).

人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍. 分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得12(1?e?4),只能选(C). 4．设曲线积分?xL[f(x)?e]sinydx?f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)一、选择题(每小题3分,共18分) 具有一阶连续偏导数,且f(0)?0,则f(x)?().

1. 向量a?b与a,b的位置关系是().

(A)e?x?ex2 (B)ex?e?x2

(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交

e?x?exe?x知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. (C) 2?1 (D)1??ex2 答案:(B).

知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答分析:a,b的向量积a?b是一个向量,其方向垂直a,b所确定的平案:(B).

面.

分析: 由积分与路径无关条件,有[f(x)?ex]cosy??f?(x)cosy

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: 审题人: 命题时间: 教务处制

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??f?(x)?f(x)?ex.由结构看,C,D不满足方程,代入,B满足,A不满足,

???1??yzdzdx?2dxdy????zdV?4?,??yzdzdx?2dxdy????2dxdy??8?.

??1D选B.

5. 设直线方程为?().

?A1x?B1y?C1z?D1?0,且A1,B1,C1,D1,B2,D2?0,则直线By?D?02?2故有结果为D.

二、填空题(每小题3分,共18分)

(A) 过原点 (B) 平行于z轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).

分析:方程B2y?D2?0,D2?0表示垂直于y轴且不过原点的平面,

?A1x?B1y?C1z?D1?0表示的直线位于垂直于y轴且不过原点的平面?By?D?022?7.

?1?lim(x?1)sin???__________. x?1?y?y?2知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明 :

(x?1)sin1?0?x?1?(x?1)2?(y?2)2, y????0,取???,只要0?(x?1)2?(y?2)2??,必有

上,不平行于z轴,不垂直于x轴.

6. 设?为球面x?y?z?4(z?0的)外侧,则

222

(x?1)sin1?0??. y

??yzdzdx?2dxdy??1??lim(x?1)sin???0. x?1?y?y?2an?6,则?(an?an?1)?__________. 8. 已知limn??n?1??().

3535(A) (B)? (C)12 (D)12?

44知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).

分析: 添有向平面?1:z?0(x2?y2?4)取下侧,则

知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:a1?6. 分析: 部分和数列

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sn?(a1?a2)?(a2?a3)??(an?an?1)?a1?an?1?a1?6.

知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:?.

分析: 可取椭圆的参数方程计算.

12. 设?是球面x2?y2?z2?在R第一卦限部分,则

9.

1??x2?y2?z2ds?___________,其中?为曲线

x?ecost,y?esint,z?e

ttt上相应于t从0变到2的这段弧.

知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案:31(1?2). 2e222t??xdS?__________.

2?知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:?R.

46分析:

2222t222xdS?ydS?z??????dS ???解:弧长的微分为ds?x??y??z?dt?3edt,x?y?z?2e.于是

?t23edt131ds??(1???x2?y2?z2?02e2t2e2).

1222x?y?zdS ????3?10. 平面x?y?z?3a被球面x2?y2?z2?R2则该圆的半径为?__________.

(0?3a?R)所截得一个圆,

R211???4?R2??R4. 386

三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程(xe?y)dx?xdy?0的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换u?微分方程.

解: 方程两端同除以x,得

y化为可分离变量的xyx知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案:R2?3a2.

分析:该圆的中心在平面x?y?z?3a上,且三个坐标相等,中心坐标为(a,a,a),中心到原点的距离为3a,该圆的半径为R2?3a2. ?ydx?xdy11．设曲线积分 I?? L 22,其中L为椭圆4x2?y2?1,并取正

4x?y向,则I?__________.

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y(e?)dx?dy?0.

xyx又

?CA(x2?2y)dx?(3x?yey)dy??x2dx?3.

?12令y?vx,则dy?vdx?xdv. 代入上式,得

dx?v?edv?0. edx?xdv?0, 即 xv故?L(x2?2y)dx?(3x?yey)dy?5(1?)?3?2?4?5?. 415. 计算???(x2?y2)dS,其中?为抛物面z?2?x2?y2在xoy面上方的部分.

知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.

分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:?在xoy的投影为Dxy:x2?y2?2,且

??z???z?1???????1?4x2?4y2. ??x???y?22积分之,得lnx?e?v?C.

故原方程的通解为lnx?e?C.

14. 计算?L(x2?2y)dx?(3x?yey)dy,其中L由从A(2,0)到B(0,1)的直线段x?2y?2及从B(0,1)到C(?1,0)的圆弧x??1?y2所构成.

yB(0,1)C(?1,0)oy?x于是???(x2?y2)dS

A(2,0)x???(x2?y2)1?4x2?4y2dxdy

Dxy??d??r21?4r2rdr002?2知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.

解 :如图,添加一段定向直线CA,这样L与CA构成闭路.设所围的区域为D,于是根据格林公式得:

1112y2?5(1??). (x?2y)dx?(3x?ye)dy?5dxdy?5(?2?1???1)?L?CA??424D?2???121222(1?4r?1)1?4rd(1?4r) ?084149?.30?3zdxdy,其中?为球面x2?y2?z2?a2的外16. 计算???x3dydz?y3dzdx侧.

知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次

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则

?L??L?CA???.

CA 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页

积分.

解:???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy ?3????(x?y?z)dxdydz

222zy1yx?y?32oxx?y?121?3?d??d??r2?r2sin?dr0002??a?x?12?5a.5

知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.

解: 如图,我们将平面x?y?z?的上侧被?所围的部分取为

?111??,于是?的单位法向量en??,,?.由斯托克斯公式得:

?333?cos???xy2?z2cos???yz2?x2cos??dS ?zx2?y232

四、解答题(每小题6分,共12分)

?2z17．设z?f(x,u)具有连续的二阶偏导数，而u?xy,求2.

?x难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.

分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x求偏导数，即可求出

?z. 2?x2I????解:

???????zx??fx??yf ??z?uxx?fxx?2yfxu?yfuu.

2??4(x?y?z)dS. ??3?3218．利用斯托克斯公式计算??(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz,其中

?是用平面x?y?z?截立方体?0,1???0,1???0,1?的表面所得的截痕,

32观察上述积分,由于在?上有x?y?z?,根据第二型曲面积分的计算公式,故

I??23??dS??23??3dxdy??6SD?(?6)()??.

xy若从z轴正向看去,?取逆时针方向.

?Dxy3492其中Dxy是?在xOy坐标平面的投影区域,而SD为Dxy的面积.

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