立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 - 图文

2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证第 周 班 组 姓名 明平行和垂直 第 课时 组评 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容；

2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目；

4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成

【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘；

2．了解空间向量的基本定理；

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法

【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法

【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称→AB为直线l的方向向量，与→AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???n·a＝0，? ?n·b＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u.[来源:学科网] ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1∥u2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，[ a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DP?BQ???0???2?. 当??1时，证明：直线BC1//平面EFPQ. 探究二：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)AE⊥CD；[来源:学。科。网] (2)PD⊥平面ABE.

探究三：在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1C的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. (1)求EF的长 (2)证明：EF//平面AA1D1D； (3)证明: EF?平面A1CD. 【当堂测试】 1.【人教A版选修2-1P101练习2改编】已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为???1，12，2???，则m＝________. 2.【改编自大纲卷】如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，?ACB?900，BC?1,AC?CC1?2. （I）证明：AC1?A1B； C1B1A1DCBA 【课后巩固】 1.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. 2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心， (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面BC1D； 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A＝2. (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得AP??PA1且面AB1C1⊥面PB1C1. 【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？

2017届高二数学导学案编写 邓兴明 审核 邓兴明 审批

课题：利用向量方法求空间角 第 周 班 组 姓名 第 课时 组评 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容；

2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目；

4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成

【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】 灵活地运用各种方法求空间角 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1．两条异面直线的夹角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角． (2)范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________． (3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝______________. 2．直线与平面的夹角 (1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角． (2)范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________． (3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝__________或cos θ＝sin φ. 3．二面角 (1)二面角的取值范围是____________． (2)二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)． ②设nβ的两个面α，β的法向量，则向量 1，n2分别是二面角α—l—n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 探究一：利用向量法求异面直线所成的角 1．已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值． 2. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角． 探究二：利用向量法求直线与平面所成的角 如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点． 若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值． 探究三：利用向量法求二面角 1.如图，ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝BA＝1，AD＝12，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小． 2如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

(1)证明：SO⊥平面ABC； (2)求二面角A—SC—B的余弦值． 探究四 向量法的综合应用 如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形． (1)求证：AD⊥BC； (2)求二面角B－AC－D的余弦值； (3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由． 【当堂测试】 1．(2011·成都月考)在正方体ABCD—A→，CM→1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115 2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( ) A.103021531010 B.10 C.10 D.10 3．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( ) A.12323 B.3 C.3 D.3 4. 【课后巩固】 1．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD. (1)求二面角B－AD－F的大小； (2)求直线BD与EF所成的角的余弦值． 2．(2011·大纲全国)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值． 3．(2011·湖北)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． (1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C； (2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tan θ的最小值． 【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？

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