数学物理方程-第五章格林函数法

第五章 格林函数法

在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet问

题的解.本章利用Green函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet问题. 另外，也简单介绍利用Green函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.

§5?1 格林公式

在研究Laplace 方程或Poisson方程边值问题时，要经常利用格林（Green）公式，它是高等数学中高斯（Gauss）公式的直接推广.

设?为R3中的区域，??充分光滑. 设k为非负整数，以下用Ck(?)表示在

?上具有k阶连续偏导的实函数全体，Ck(?)表示在?上具有k阶连续偏导的实

函数全体. 如u?C1(?)?C(?)?C(?)?C0(?)?，表示u(x,y,z)在?具有一阶连续偏导数而在?上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.

??P如将P(x,y,z)简记为P，P(x,y,z)简记为或Px等等.

?x?x

设P(x,y,z)，Q(x,y,z)和R(x,y,z)?C1(?)，则成立如下的Gauss公式

???(??P?Q?R??)dV???Pdydz?Qdydx?Rdxdy (1.1) ?x?y?z??或者

???(??P?Q?R??)dV???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds (1.2) ?x?y?z??如果引入哈米尔顿（Hamilton）算子： ??(????,,)，并记F?(P,Q,R)，?x?y?z则Gauss公式具有如下简洁形式

?????Fdv?F??????nds (1.3)

????其中n?(cos?,cos?,cos?)为??的单位外法向量.

?注1 Hamilton算子是一个向量性算子，它作用于向量函数F?(P,Q,R)时，其运算定义为

??????F?(,,)?(P,Q,R)?x?y?z

?P?Q?R ??? ,?x?y?z 124

????形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F的散度divF. 而作用于数量函

数f(x,y,z)时，其运算定义为

?f?(????f?f?f,,)f?(,,)， ?x?y?z?x?y?z形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f的梯度gradf.

?设u(x,y,z)，v(x,y,z)?C2(?)，在(1.3)中取F?u?v得

直接计算可得

???(u?v)dV?u?v?nds (1.4) ???????? ??(u?v)?u?v??u?v (1.5)

其中?v?vxx?vyy?vzz. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得

???u?vdV???u????vds?????u??vdV (1.6) ?n?(1.6)称为Green第一公式.

在(1.6)中将函数u，v的位置互换得

???v?udV???v????uds?????v??udV (1.7) ?n??v?u?v)ds (1.8) ?n?n自(1.6)减去(1.7)得

???(u?v?v?u)dV???(u???(1.8)称为Green第二公式.

设点P0(?,?,?)??，点P(x,y,z)?R3，rP0P?|P0?P|?(x??)2?(y??)2?(z??)2. 引入函数 ?(P,P0)?1，注意?(P,P0)是关于六个变元(x,y,z)和(?,?,?)的函数4?rP0P且?(P,P0)??(P0,P). 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(x,y,z)的偏导数. 直接计算可得

??(P,P0)?0, P?P0

即?(P,P0)在R3中除点P0外处处满足Laplace方程.

设??0充分小使得B?B(P0,?)?{P(x,y,z) |P?P0|??}??. 记G??\\B,

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则?G?????B. 在Green第二公式中取v??(P,P0)，??G. 由于在区域G内有???0，故有

??????udV???(uG?G???u??)ds ?n?n或者

??????udV???(uG?????u???u??)ds???(u??)ds (1.9) ?n?n?n?n?B在球面?B上，

?????????n?r?(1)4?rP0P?r1， 4?r2?因此

??u?B??1ds??n4?????Bu2ds?u(x,y,z) (1.10)

其中P(x,y,z)??B.

同理可得 其中P(x?,y?,z?)??B.

将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令??0?，此时有

?u?(x?,y?,z?)?0， ，P(x,y,z)?P(?,?,?)0?n

并且区域G趋向于区域?，因此可得

????B?u1ds??n4???u?u??(x?,y?,z? ) (1.11) ds???n?n?B??????udV???(u??????u??)ds?u(?,?,?)， ?n?n即

?u??,?,?)???(?ud)?s?????udV (1.12) u(??

?n?n???(1.12)称为Green第三公式. 它表明函数u在?内的值可用?内的?u值与边界

?u??上u及的值表示.

?n注2 在二维情形，Green第一公式和Green第二公式也成立. 而对于Green

11ln，其中P0(?,?)??，P(x,y)?R2， 第三公式, 需要取?(P,P0)?2?r

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r?rPP=|P0?P|?(x??)2?(y??)2.

0

此时Green第三公式也成立.

§5?2 Laplace方程基本解和Green函数

基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green函数，由此给出相应区域上Laplace方程或Poisson方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet问题为例介绍Laplace方程的基本解和Green函数方法的基本思想.

5．2.1 基本解

3设P0放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电0(?,?,?)?R，若在点P位分布为(舍去常数?0)

u(x,y,z)??(P,P0)?1 (2.1) 4?rP0P??u?0 . 进一步还可以证明[1]，在广义函数的易证： ?(P,P0)在R3\\{P0}满足

意义下?(P,P0)满足方程

??u??(P,P0) (2.2)

其中?(P,P0)??(x??)?(y??)?(z??). ?(P,P0)称为三维Laplace方程的基本解.

当n=2时，二维Laplace方程的基本解为

?(P,P0)?11 (2.3) ln2?rP0P2(x??)2?(y??)2. 同理可证，?(P,P其中P0(?,?)，P(x,y)?R，rP0P?0)在平

??u?0 ，而在广义函数意义下?(P,P面上除点P0(?,?)外满足方程0)满足方程

??u??(P,P0) (2.4)

其中?(P,P0)??(x??)?(y??).

注1 根据Laplace方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直

接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace方程的基本解.

5．2.2 Green函数 考虑如下定解问题

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???u?f(x,y,z), (x,y,z)????u(x,y,z)??(x,y,z), (x,y,z)??? (2.5)

(2.6)21设P0(?,?,?)??，u(x,y,z)?C(?)?C(?)是(2.5)— (2.6)的解，则由Green第

三公式可得

u(?,?,?)???(????u???u)ds??????udV (2.7) ?n?n?在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和

自由项求出，即有

??u??????ds????ds ?n?n??

而在??????????udV??????? f?d. V

?u?uds中，在边界??上的值是未知的. 因此须做进一步处理.

?n?n 注2 若要求解Neumann问题，即将（2.6）中边界条件换为此时，在方程（2.7）右端第二项??u???u??(x,y,z).?n??ds中，u在边界??上的值是未知的，?n而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.

如何由（2.7）得到定解问题(2.5)?(2.6)的解？Green的想法就是要消去(2.7) 右端第一项??????uds. 为此，要用下面的Green函数取代（2.7）中的基本解. ?n设h为如下定解问题的解

???h?0,(x,y,z)????h???,(x,y,z)???在Green第二公式中取v?h得

????h?udV???(u??? (2.8) (2.9)?h?u?h)ds ?n?n或者

0???(h???u?h?u)ds????h?udV (2.10) ?n?n?将(2.7)和(2.10)相加得

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