战斗过程的基本数值知识与理论--网易(4)

22X0?Y02?x2t?yt

也就是说，在任何时候，双方的人数平方的差距不变。那么按照前面“战斗力之差保持不变”的规则，这里的战斗力必然包括了一种平方关系。在多人战斗情况下，假设单个单位的战斗力为ＦＣ，那么对于ｎ个单位，其战斗力显然与ｎ2*ＦＣ成正比例．这也就是著名的兰彻斯特平方定律。这个平方律反应了战斗中的一个规模效应。当作战单位以一定数量增加时，战斗能力以平方关系增长。 由上述公式，可以得到几个比较重要的推论：

１． ｎ个战斗单位同时投入战斗，要比一个一个的投入战斗强的多。我们可以计算，

２

ｎ个战斗单位同时进行战斗的战斗力总量正比于ｎ*ＦＣ，而让他们前后投入战斗，战斗力总量正比于ｎ*ＦＣ，这个结果我们也可以直观的理解，因为当１个单位在承受伤害的时候，其他的单位都在进行输出，自然总的战斗力就增大了。 ２． 即使战斗双方的力量不均衡，只要弱势的一方成功的使得对方不能以全部兵力

投入战斗，那么也有可能分成几次战胜对手。在军事上，也就是要造成局部以多打少的战术观点，其数学含义其实是：a×a＋b×b<(a＋b)(a＋b)。

举两个例子：

星际争霸中的飞龙互拚

双方等级相同不同数量的飞龙在操作的情况下互拚。（不考虑飞龙随时间的自然涨血），Ａ方12条，Ｂ方10条。

战斗开始，可以预见，Ａ将获得胜利，12×12－10×10＝44，44开方得6.63。说明会剩下6到7条。

但是，如果Ｂ通过操作或者某种战术，使得Ａ的飞龙6条6条的参加战斗。由于6*6+6*6＜10*10，因此Ｂ将获得胜利，并且还可以剩下10*10-6*6-6*6=28．再开方，得到5.29，也就是说Ａ将还剩下将近１半的飞龙，可以说是一个了不起的成就了。这也是在这类游戏在中操作或者战术的作用。

在ＣＳ对战中，

两个CT MP5 vs 三个T MP5，都是射击胸部。按照ＣＳ的一般情况，MP5大约６枪能够杀死一个人。

第一轮，两个CT中某个CT挨了3枪，T中某个人挨了两枪；

第二轮，一个CT挨了累计6枪，死了，T中那个受伤的人挨了4枪。 第三轮，剩下CT挨了3枪，倒霉的T挨了5枪。

第四轮，剩下的CT也挨6枪，死亡，那个最倒霉的T累计了6枪，也死亡。。

在一次舞会上，一位贵妇人问拿破仑：“你为什么总是能以少数的兵力战胜比自己力量大的强敌呢？”拿破仑说：“哪有这回事？每次我都是指挥优势的兵力战胜敌人的。”这段对话虽然简单，但却说出了一个非常深刻道理，从战术上来看，人多打败人少是一个客观规律，但是，要达成战术上的兵力优势却不一定需要在总兵力上占优势。

“故胜兵若以镒称铢，败兵若以铢称镒。”古代24铢为1两，24两为1镒，以镒称铢就是说要以敌人576倍的优势兵力彻底压倒敌人。当然，这个576倍是一种夸张的说法，但是孙子在这里想要表达的意思是非常明确的：达成胜利的一个重要因素就是要在数量上压倒

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敌人。

简单的推广 假设Ｘ、Ｙ的生命和攻击力都不相等，比如星际争霸中的机枪兵和刺蛇的互射（暂时不考虑兴奋剂、护士、刺蛇自然回血的影响）。我们可以看到，它们所引起的变化其实是杀伤力的变化，也就是Ｐ的变化，我们假设Ｘ方的杀伤力为Ａ，Ｙ方的杀伤力为Ｂ，不妨假设Ｘ会胜利（我们一会儿可以看到其条件是什么）。同样可以得到方程：

dx??By (1) dt

dy??Ax (2)dt解这个方程，可以得到： ｘ＝

X0?Y0-e2X0?Y0-e2ABt?X0?Y0e2X0?Y0e2ABt

ｙ＝

ABt?ABt

2AX0?BY02X0?Y0当ｔ=时，ｙ＝０，Ｙ方被消灭，此时Ｘ方还剩下。 lnA2ABX0?Y012也就是说，如果AX0?BY02>０，那么Ｘ将取得胜利，反之为Ｙ。

同样，按照上面的数学计算方法，我们可以得到

222A(X0?x2t)?B(Y0?yt)

同样变形得到：

22AX0?BY02?Ax2?Bytt

我们看到，在杀伤力不同的情况下，每个单位的杀伤力同样对实力产生影响。并且在战斗过程中，每个单位的杀伤力与数量平方乘积的差不变。

如果我们对杀伤力进行分析，在上述例子中，比较Ｘ和Ｙ方的战斗结果，只需要看：

dX*fXd*fY2 — Y?X0?Y02是否大于0

hpYhpX也就是要比较

22 — dY*fY?hpY*Y0 dX*fX?hpX*X0那么是不是我们可以定义：FCx?dX*fX?hpX*X0；FCY?dY*fY?hpY*Y016

22 呢？这里我们来看一看我们对于战斗力的定义。战斗力是在承受与输出的所组成图形的面积，那么我们做一个输出与承受的图，可以看到：

无论采用积分还是采用三角形面积计算方法，都可以很容易的得到，多单位的战斗力等

于（承受能力*输出能力）/2。对于有n个单位的战斗团体来说，承受能力=n*hp，最大输出能力=d?f?n，所以最终的结果是：

n2FC??d?f?hp

2那么对于刚才的情况，可以得到：

12?X0?dX?fX?hpX 21FCY??Y02?dY?fY?hpY

2FCx?X2dX?fX?hpX FCx/FCY?2?YdY?fY?hpY

只要对比FCX和FCY，就可以很简单的得到Ｘ和Ｙ作战的战斗结果。在后面单单位与

多单位战斗过程的计算中我们可以看到，这一结论是继续适用的。

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与前面的计算结果相比，我们可以看到，战斗力的公式其实并没有质的变化，只是它随着人数的平方关系增长。这对于游戏中促进玩家的组队是有非常有利的。 如果我们对比多人战斗过程与单人战斗过程的公式，我们可以看到，在单体战斗中，我们认为输出是恒定的，而在多单位战斗中，输出与承受之间存在着正比例关系。这正是兰彻斯特平方律的来源。在单人战斗过程中我们并非就不能产生这种平方律关系，只需要把攻击力正比于生命即可达到这个效果。

综合上面的所有过程，可以看到，多人战斗过程仍然贯穿了前面所提到的两个基本定律： 1. 战斗力是输出对承受的积分，特别地，在输出与承受无关的情况下，战斗力=输

出*承受。 2. 战斗过程中仍然是战斗力差值不变的过程。

离散化对战斗过程的影响 在离散过程下，同样的，会产生一定值的数据偏差，下面我们就来看这种偏差的影响因素。 来看一个最简单的例子，如果Ｘ方有１００个单位，Ｙ方有５０个单位。按照连续情况下的公式计算可以得到，在战斗后，Ｘ可以剩下８６．６个单位。

１． 如果双方的杀伤力都为１，也就是说任何一个单位都可以一次杀死另一个单

位，那么Ｘ可以剩下５０个单位。（X方伤害溢出22个Y方单位生命力） ２． 如果双方的杀伤力都为０．５，Ｘ剩下７５个单位。（X方伤害溢出0个Y方

单位生命力）

３． 如果双方的杀伤力都为０．３３３３，Ｘ剩下７７．７８个单位。（X方伤害

溢出34/3个Y方单位生命力）

４． 如果双方的杀伤力都为０．２５，Ｘ剩下８０．４７个单位。（X方伤害溢出

35/2个Y方单位生命力） ．．．．．．

通过以上的示例可以看到，在离散情况下，由于在最后一轮一定会产生攻击力的浪费，也就是战斗力的浪费，数值会产生一定的偏移，而且一定是向胜利者不利的方向偏移，杀伤力越小，离散情况越接近于连续过程。

额外分析：

在2.3.之间插入杀伤力0.4的情况，则X剩下76个单位 X方最后一轮伤害溢出22个Y方单位生命力

在1.2.之间插入杀伤力0.8的情况，则X剩下60各单位 X放最后一轮伤害溢出30个Y方单位生命力

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第三节 单个单位与多个单位的战斗过程

在游戏中，除了单个单位的互相战斗和多个单位的互相战斗之外，还有一种情况，就是单个单位与多个单位的战斗，这种情况也是普遍的，玩家有时候会单人同时面对多个怪物，也会多人一起与一个boss进行战斗。这种情况当然可以看作多单位战斗的离散情况，但是要注意到，如果这样的战斗是实力接近的，比如一个玩家同时面临3个小怪，或者5个玩家同时面对1个boss，在这里，由于一方的数量很小（只有1个），离散化带来的影响已经不可以被忽略。因此有必要单独进行考虑。 这种模型下最大的特点在于不对称性。这里的不对称性在于：一方的输出是随着承受递减的，而另一方的输出则是恒定的。假设：

单个单位一方（x方）初始生命HX，伤害为Dx，频率为fx；

多个单位一方（y方）初始生命HY，伤害为DY，频率为fY；初始数量为Y0 可以得到数学方程：

dx??DY?fY?y dt

D?fdy??xx dtHY加上初始条件，t=0时，x=HX；y=Y0。要注意这里x，y的单位是不同的。x是生命

关于时间的变量，y是数量关于时间的变量。 解这个方程，可以得到：

x?DX?fX?DY?fY2?t?DY?fY?Y0?t?H0

2HYDx?fx?t HYHY?Y0的点，x

DX?fXy0?Y0?

x对时间的函数是一个二次曲线，y是一个递减的直线。并且在t?取到最小值，而y=0。图形如下，

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