陕西2011中考数学（word版，含扫描答案）

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例 2011年上海市长宁区中考模拟第25题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2x2＋4x＋6与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于C点，顶点为D．过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P、E两点．

(1)求E点的坐标；

(2)联结PO1、PA．求证：△BCD∽△PO1A；

(3) ①以点O2 (0，m)为圆心画⊙O2，使得⊙O2与⊙O1相切，当⊙O2经过点C时，求实数m的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O3，以O3为圆心画⊙O3，使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程)．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11长宁25”，拖动圆心O2在y轴上运动，可以改变⊙O1与⊙O2的位置关系．双击按钮“⊙O1与⊙O2外切”和“⊙O1与⊙O2内切”可以准确显示⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切时的位置．双击按钮“第（2）题”和“第（3）题”可以切换．

请打开超级画板文件名“11长宁25”，

思路点拨

1．这是一道超级难题，放弃可惜，努力又不会有圆满的结果，先拿回第（1）题． 2．第（2）题如果没有规范、准确的图形，很难判断∠BCD＝∠PO1A．事实上，△CBE与△O1PE是有公共底角的两个等腰三角形，顶角的邻补角相等，即∠BCD＝∠PO1A．

3．第（3）题有几个符合条件的⊙O3呢？画两个坐标系，准确画出C、E两点和⊙O1，一个画出⊙O1与⊙O2外切，另一个画出⊙O1与⊙O2内切，然后仔细端详、思考，能想出几个⊙O3就算出几个．好不容易想到了，如果因为计算错误，那是白劳！

满分解答

（1）由y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8＝－2(x＋1) (x－3)， 得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，6)，D(1，8)．

直线CD的解析式为y＝2x＋6，点E的坐标为(－3，0)．

（2）已知B(3，0)，C(0，6)，D(1，8)，由两点间的距离公式，可得BC?35、CD?5． 如图2，⊙O1的直径OE＝3，OA＝1，所以PO1＝因此BC?CD?25．

PO1O1A因为B(3，0)、E(－3，0)关于y轴对称，所以∠B＝∠E．所以∠BCD＝2∠E． 因为O1E＝O1P，所以∠O1PE＝∠E．所以∠PO1A＝2∠E． 于是证得∠BCD＝∠PO1A．

根据两边对应成比例且夹角相等，得到△BCD∽△PO1A．

31，O1A＝． 22新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@新世纪教育网

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3；对于⊙O2，r2＝6－m；圆心距O1O2＝(3)2?m2． 2218如图3，当两圆外切时，r1＋r2＝O1O2．解方程3?6?m?(3)2?m2，得m?．

522（3）①对于⊙O1，r1＝

如图4，当两圆内切时，| r1＋r2 |＝O1O2．解方程3?(6?m)?(3)2?m2，得m?2．

22

图2 图3 图4

②符合条件的点O3有7个，坐标为?0,10??3??45??14??18?? ，0,????，?,0?，??,0?，?0,?，57214?????????15??0,2?，??21?,0?． ?2?考点伸展

第（3）②题的⊙O3的示意图如下：图5中，当⊙O1与⊙O2（阴影两圆）外切时，与两圆同时外切的⊙O3有两个，同时内切的⊙O3有两个．

图5中，当⊙O1与⊙O2（无阴影两圆）内切时，与两圆同时内切的⊙O3有四个（阴影四个圆），其中圆心O3在x轴、y轴各有两个．图5与图6中，重合的圆有一个．

图5 图6

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