3.2.3 直线方程的一般式
1．一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)， 当B≠0时，其斜率是 ， 在y轴上的截距是 ； 当B＝0时，这条直线垂直于x轴，没有斜率．
2．二元一次方程与直线的关系
二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的 ，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是 的．(同解方程视为同一方程) 1．直线y－1＝4(x＋2)化为一般式方程为( )
y－1
(A)4(x＋2)－y＋1＝0 (B)4x－y＋9＝0 (C)y＝4x＋9 (D)＝4
x＋2
2．若直线l：Ax＋By＋C＝0过原点，则( )
(A)B＝0 (B)C＝0 (C)A＋B＋C＝0 (D)A·C＝0 3．直线l：2x－y＋1＝0不经过( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4．直线2x＋3y－6＝0的斜率是________，在y轴上的截距是________，它的截距式方程是______________．
知识要点归纳一：直线的一般式方程与其他形式方程的转化
1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都可以化成一般式方程，直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线．但是，直线方程的一般式不一定都能化为四种特殊形式，这要看系数A、B、C是否为0才能确定．
ACxy
(1)一般式化斜截式为：y＝－x－(B≠0)；(2)一般式化截距式为：＋＝1．
BBCC
－－AB
2．在求直线方程的题目中，最后结果一般要写成直线的一般式方程． 3．已知两个独立的条件可求直线方程
求直线方程，表面上需求A，B，C三个系数，由于A，B不同时为零，若A≠0，则方
BCBCAC
程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定
AAAABB
AC
，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． BB
知识要点归纳二：直线方程的五种形式的对比 直线的 已知条件 方程 使用范围 方程形式 y－y0＝ 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k 与x轴不垂直的直线 k(x－x0) 斜率k和在y轴上的斜截式 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 截距 y－y1＝ y2－y1P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，与两坐标轴均不垂直两点式 其中x1≠x2，y1≠y2 x－x1的直线 x2－x1xy在x，y轴上的截距分与坐标轴不垂直且不截距式 ＋＝1 ab别是a，b，并且ab≠0 过原点的直线 Ax＋By＋ 一般式 两个独立的条件 C＝0(A、B 无限制 不同时为0) 1
知识要点归纳三：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行与垂直的判断
1．根据直线方程的一般式判断两直线平行 (1)当B1≠0，B2≠0时，
A1C1A2C2k1＝－，b1＝－，k2＝－，b2＝－.
B1B1B2B2
A1A2C1C2当l1∥l2时，－＝－且－≠－(否则，两直线重合)，即A1B2－A2B1＝0，且B1C2
B1B2B1B2
－B2C1≠0.
C1C2(2)当B1＝0，B2＝0时，x1＝－，x2＝－.
A1A2
∵l1∥l2，
C1C2∴－≠－，即A1C2－A2C1≠0.
A1A2
综上所述：l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．根据直线方程的一般式判断两直线垂直
A1A2(1)当B1≠0，B2≠0时，k1＝－，k2＝－. B1B2
∵l1⊥l2，
A1A2∴(－)×(－)＝－1，即A1A2＋B1B2＝0.
B1B2
(2)当B1＝0，B2≠0时，l1⊥l2，则A2＝0， ∴A1A2＋B1B2＝0.
(3)当B1≠0，B2＝0时，l1⊥l2，则A1＝0， ∴A1A2＋B1B2＝0.
综上所述：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 典例解析：
题型一：求直线的一般式方程
【例1】 根据下列条件求解直线的一般式方程： (1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)； (2)斜率为3，且在y轴上的截距为4； (3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
变式训练11：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
1
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
2
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
3
(3)在x轴和y轴上的截距分别是、－3；
2
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
2
题型二：利用一般式解决平行与垂直问题
【例2】 已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直．
题型三：一般式的综合应用
【例3】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
变式训练：设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值．
(1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1.
3
基础达标
1．如果直线l：Ax＋By＋C＝0的倾斜角为45°，则有( )
(A)A＝B (B)A＝－B (C)AB＝1 (D)AB＝－1 2．若a－b＋c＝0，则直线ax＋by＋c＝0必经过一个定点是( )
(A)(1,1) (B)(－1,1) (C)(1，－1) (D)(－1，－1)
3．直线l1：(3－2)x＋y＝3和直线l2：x＋(2－3)y＝2的位置关系是( ) (A)相交不垂直 (B)垂直 (C)平行 (D)重合 4．若a、b、c>0，则直线ax＋by＋c＝0的图形大致是( )
5．直线(2－m)x＋my＋3＝0与直线x－my－3＝0垂直，则m为________． 6．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围是________． 能力提升
7．若直线x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线2mx＋4y＋16＝0平行，则实数m的值等于
( )(A)1 (B)－2 (C)1或－2 (D)－1或－2
8．已知直线ax－y＋1＝0，当x∈[－2,3]时，y∈[－3,5]，则a的取值范围是( )
4444
(A)[－2,2] (B)[－，2] (C)[－2，] (D)[－，]
3333
9．与直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线l的方程为________． 10．直线kx＋y－k＝0与射线3x－4y＋5＝0(x≥－1)有交点，求k的取值范围．
11．a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0， (1)平行；(2)垂直．
12．已知直线l：ax－y－2a＋1＝0.
(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
4
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