华理概率论06-6-A答案

华东理工大学2005–2006学年第二学期

《概率论与数理统计》课程考试试卷 A 2006.6

开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟 考生姓名： 学号： 班级： 任课教师： 题序 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 一、 选择题：（每小题5分）

1、设随机变量?服从正态分布N(?,?2)，则概率P?x???2??（ D ）。 A、随?的增加而增大 B、随?的增加而减小

C、随?的增加而增大 D、等于一个常数（与?和?的大小没有关系）。 2、设随机变量?和?满足条件E(??)?E??E?，则以下命题中一定正确的是（ C ）。 A、D(??)?D??D? B、?和?一定相互独立 C、D(???)?D??D? D、?和?一定不相互独立

3、设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ A ）。

1y?1y?11y?1A、p() B、3p() C、p(3(y?1)) D、3p()

33333

4、样本(X1,X2,?,Xn)取自正态分布N(?,?2)，X,Sn?1分别为样本均值及样本标准差，则（ B ）。

A、X~N(?,?2) B、n(X??)~N(0,?2)

?Xi????Xi???2C、??~?2(n) ??~?(n) D、????i?1??/n?i?1?Sn?1/n?n2n2

二、 填空题：（每小题5分）

1

1、已知P(A?B)?0.2,P(A)?0.5，则P(AB)? 0.7 。 2、已知随机变量?的密度函数为：

?1/3,x?[0,1]?p(x)??1/6,x?[2,6]，

?0,x?[0,1]?[2,6]?且P{??a}?1/4，则a? 4.5 。

3、设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E(e?2X)?= 0.5 。

4、设随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,4)和N(2,9)，且相互独立，如果有

P{X?Y?c}?1，则c= ?1 。 2

三、（10分）设工厂A、B、C 生产的同一种产品的次品率分别为0.1、0.15和0.2，这三个工厂的这种产品在市场的占有率分别为0.6、0.3和0.1，现在从市场中任意抽取一件这种产品，经检验后发现它是次品，求这件产品分别是这三家工厂生产的概率，并判断它最有可能是由哪家工厂生产的？

解：就用A、B、C分别表示一件产品分别是由这三家工厂生产的这三个事件，用D表示取出的这件产品是次品这一事件。则已知

P(A)?0.6,P(B)?0.3,P(C)?0.1;P(DA)?0.1,P(DB)?0.15,P(DC)?0.2

根据题意要求的是P(AD),P(BD),P(CD)，并比较他们的大小以作出判断。 由全概率公式有

)P(?A) P(D)?P(DAP(DB)P(?B)P(D )C(P)C ?0.1?0.?6由贝叶斯公式分别有

)? P(AD 10.?15?0.3?0.2?0.P(DA)P(A)0.1?0.6??P(D)0.12512?0.4 825)? P(BDP(DB)P(B)0.1?50.39???0.3 6P(D)0.12525 2

P(DC)P(C)0.2?0.1 P(CD)???P(D)0.1254 6?0.125相比较而言，这件次品是工厂A生产的可能性最大。

四、（10分）设连续型随机变量?的密度函数为：

?1?2ax,0?x?2?c? p(x)??bx?,2?x?4，

2??0,x?(0,2)?[2,4)??又已知E??2,P{1?x?3}?3/4。试求：

（1）常数a,b,c的值, （6分）;（2）期望 Ee?。（4分）

解:（1）由密度规范性，以及期望、概率的密度计算公式，分别有：

1c1??p(x)dx??axdx??(bx?)dx?a?6b?c

22??022?E???????24??1c4a56bxp(x)dx??ax2dx??x(bx?)dx???3c

2233023243213c3a5bc?P{1???3}??p(x)dx??axdx??(bx?)dx???

112424222于是，得到如下的线性方程组：

?a?6b?c?1?32b?5c?211??a?,b??,c?2 ?4a?56b?9c?6??24?3a?10b?2c?3?8b?c?0?（2）由随机变量函数期望公式：

1xx(e2?1)2x Ee??ep(x)dx??exdx??e(??1)dx?

444??02?x??24

五、（10分）假设某种电子仪器的寿命服从正态分布N(?,?2)，为估计该种仪器的

3

平均寿命?，现随机地抽取9台试用，测得它们的寿命（单位：万小时）如下：

6.35.65.06.17.06.05.76.55.8

试在以下两种情形下，分别求出该种仪器平均寿命?的置信区间（置信水平为95％）： （1）已知?2?0.62； （2）方差?2未知。

222(9)?16.919,?0.975(9)?19.023,?0.975(8)?17.535 （?(1.645)?0.95，?(1.96)?0.975，?0.952?0.95(8)?15.507,t0.95(9)?1.8331,t0.975(9)?2.2622,t0.95(8)?1.8595,t0.975(8)?2.306）

解：

（1）由于总体为正态分布，且方差?2?0.62已知。由题中样本观测值计算，得样本均值X?6.0。又由1???0.95，即??0.05，查表可得U1??/2?U0.975?1.96。将上式数据代入公式，可得?的“置信下限”与“置信上限”分别为：

?L?X?U???1??2n?6.0?1.96?0.6?5.608, 90.6?6.392. 9?U?X?U?1??2n?6.0?1.96?即平均寿命?的 95％ 置信区间为 [5.608, 6.392] （单位：万小时）。（5分）

（2）当方差未知时，利用枢轴量

X???t(n?1)

Sn?1/n2由所给数据算出有Sn ?1?0.33，可得此时?的“置信下限”与“置信上限”分别为：

?L?X?t0.975(8)??Sn?1n?6.0?2.306?Sn?1n0.33?5.558＝（5.55843） 90.33?6.442 = (6.44156) 9 ?L?X?t0.975(8)?6.0?2.306?即此时平均寿命?的 95％ 置信区间为 [5.558, 6.442] （单位：万小时）。（5分）

4

六、（12分）有10000个相同年龄段的人参加某保险公司的人寿保险，年保险费为每人10元，死亡时，死者家属可从保险公司获得4000元保险金。根据历史资料在一年内这类人群的死亡率为千分之一，试用中心极限定理近似计算： （1）保险公司亏本的概率，

（2）保险公司一年内至少获利40000元的概率。 （ ?(1.582)?0.943,?(3.14)??(3.17)?0.9992,?(4)?1 ）

解：用?表示一年内死亡的人数，则显然??B(n,p)，其中n?10000，p?0.001。由二项分布中心极限定理，??N(np,npq)?N(10,3.16072) 。（4分）

（1）保险公司亏本的概率 P{4000??100000}?P{??25}?1?P{0???25}

?1?P{0?10??1025?10??10??}?1?P{?3.164??4.7458}

3.16073.16073.16073.1607（4分） ?1?(?(4.7458)??(?3.164))?2??(4.7458)??(3.164)?1?0.9992?0.0008。（2）保险公司一年内获利不少于40000元的概率为：

P{100000?4000??40000}?P{??15}?P{0???15}

?P{0?10??1015?10??15??}?P{?3.1576??1.582}3.16073.16073.16073.1607（4分） ??(1.582)??(3.1576)?1?0.943?0.992?1?0.9422。

七、（8分）设随机变量 ?,?相互独立，其概率密度分别为：

?e?xx?0?2x0?x?1,, p?(x)?? ； p?(x)?? ；

?0?0x?0试求：P(????2) 。

?2xe?y0?x?1,0?y,解：由独立性，p(?,?)(x,y)??， （3分）； 0?所以

P(????2)＝?(?012?x0（5分） 2xedy)dx??2x(1?ex?2)dx?1?2e?2?0.7294。

0?y1

八、（10分）为比较 甲、乙 两种安眠药的疗效，任选20名患者分成两组，其中10

人服用甲种安眠药后，延长睡眠的时数为：

1.9 0.8 1.1 0.1 －0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4

5

另外10人服用乙种安眠药后，延长睡眠的时数为：

0.7 －1.6 －0.2 －1.2 －0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0

设两组样本都来自正态总体，而且总体方差相等。在显著水平 ??0.05时，利用Excel软件得到输出表格如下图（其中变量 1 代表 甲 ；变量 2 代表 乙 ）：

t-检验: 双样本等方差假设

变量 1 变量 2

平均 2.33 0.75 方差 4.009 3.200556 观测值 10 10 合并方差 3.604777778 假设平均差 0 df 18 t Stat 1.860813467 P(T<=t) 单尾 0.039593355 t 单尾临界 1.734063062 P(T<=t) 双尾 0.07918671 t 双尾临界 2.100923666 问：（1）为检验甲、乙 两种安眠药的疗效是否有显著差异，应该选用什么统计量？什么分布？对应的拒绝域又是什么？（5分）；

（2）利用Excel软件输出表中的数据，对“疗效是否有显著差异”进行假设检验。（5分） 解：（1）选用统计量为：T?X?Y?t(m?n?2)；拒绝域是：T?t?(m?n?2)；

1?112SW?mn（2）设它们的期望分别为：?1,?2，令 H0:?1??2,H1:?1??2 ,采用双侧T检验。 由于从表格可以看出，此时的P-值＝0.07918 > 0.05 ＝ ?，这说明T统计量的（观察）测试值没有落入拒绝区域，从而不拒绝原假设，即认为甲、乙 两种安眠药的疗效没有显著差异。

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