概率论习题二解答(2)

18．设X在（0，5）上服从均匀分布，求P(X?4). 解 f(x)???x?5?15,05?41? ，P(X?4)?55?0,其它5,求P(Y?1)。 9522解 因为 P(X?1)?1?P(X?0)?1?(1?p)?，1?p?。

938193?所以 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?1?. 272720. 设一个人在一年内感冒的次数服从参数??5的泊松分布，现有一种预防感冒的药，它对30%的人来讲可将上述参数?降为??1（疗效显著）；对45%的人来讲可将上述参数?降为??4（疗效一般）；而对其余25%的人来讲则是无效的。现

19.设随机变量X~B(2,p)，Y~B(3,p)，若P(X?1)?某人服用此药一年，在这一年中他3次感冒，求此药对他“疗效显著”的概率。 解 设事件B=”此人在一年中得了3次感冒”；A1= “该药疗效显著”；A2=”该药疗效一般”；A3=”该药疗效显著”。P(A1)?0.30；P(A2)?0.45；P(A3)?0.25；

13e?143e?453e?5P(B/A1)?；P(B/A2)?；P(B/A3)?；由逆概公式

3!3!3!P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?P(A3)P(B/A3)?0.1301

21、设随机变量X~N(3,22)。（1）求P(2?X?5)，P(?4?X?10)，

P(X?3)，P(X?2)。（2）确定常数C，使P(X?C)?P(X?C)，并用图形

说明其意义；（3）求a，使 P(X?a?a)?0.1。

解 （1） P(2?X?5)??(5?32?3)??() 22??(1)??(?0.5)??(1)??(0.5)?1?0.8413?0.6915?1?0.532810?3?4?3P(?4?X?10)??()??()?2?(3.5)?1?2?1?1?122P(X?3)?1?P(X?3)?1??(0)?0.5

6

P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(?2?X?2)?1??(2?3?2?3)??() 22?1??(?0.5)??(?2.5)?1??(0.5)??(2.5)?1?0.6915?0.9946?0.6969

(2) 由 P(X?C)?P(X?C)?1?P(X?C)，则 P(X?C)?即 ?(1 2C?3C?3)?0.5 ， 得 ?022?C?3。

(3) 由 P(X?a?a)?1?P(X?a?a)

?1?P(0?X?2a)?1??(?1??(2a?30?3)??() 222a?32a?3)?0.0668?0.1， 得 ?()?0.9668， 222a?3?1.835,a?3.335。 故

222、某地抽样调查考生的英语成绩为了随机变量X~N(72,?2)，且96分以上的占考生总数的2.3%。试求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率。 解 由题意可知： P(X?96)?2.3% 则

P(X?96)?1??(查表得

96?72?)?0.023,?(24?)?0.977 ，

24??2,??12, 即 X~N(72,122) 所求概率为

84?7260?72)??()?2?(1)?1?0.6826 12122P(60?X?84)??(23、某加工过程，如果采用甲种工艺条件，则完成时间X~N(40,8)；若采用乙种工艺条件，则完成时间Y~N(50,4)（单位：h）。（1）若允许在60h内完成，应选何种工艺条件？（2）若只允许在50h内完成，应选何种工艺条件？

解 （1） 需计算两种工艺条件下，P(0?X?60) 与 P(0?y?60) 的值， 哪个大就选那种工艺。 当 ??40??8 时：

2P(0?X?60)??(60?400?40)??()?0.9938 887

当 ??50??4 时：P(0?Y?60)??(60?500?50)??()?0.9938 44所以，若允许在60小时内完成两种工艺条件选哪种都可以。 （2） 同法可计算， 当 ??40??8 时：

50?400?40)??()?0.8944 8850?500?50)??()?0.5 当 ??50??4 时：P(0?Y?50)??(44P(0?X?50)??(所以，若允许在50小时内完成应选第一种工艺条件。

24、设某批零件的长度X~N(?,?2),今从这批零件中任取5个,求正好有2个零件长度大于?的概率。

解 设取得长度大于?的个数为Y，由题意知 Y~B(5,p)，设在这批零件中任取一个长度大于?的概率为p，则

p?P(X??)?1?P(X??)?1??(故 P(Y?2)?C5p(1?p)?223???)?1??(0)?0.5 ?5?41213()()?0.3125 2!2225、某电子元件的寿命X服从正态分布，X~N(300,352),求 （1）电子元件的寿命在250个小时以上的概率；（2）求常数k，使得电子元件寿命在300?k之间的概率为0.9.

250?300)??(1.429)?0.9236 35k?kk(2) P(300?k?X?300?k)??()??()?2?()?1?0.9，

353535kk?()?0.95， ?1.645,k?57.58?58。 3535解 (1)P(X?250)?1?P(X?250)?1??(26.设某学校一专业有100名学生,在周末每个学生去某阅览室自修的概率是0.1，且设每个学生去阅览室自修与否相互独立。试问该阅览室至少应设多少个座位才能以不低于0.95的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座。（?(1.65)?0.95） 解 设去阅览室自修的学生数为X，则X~B(100,0.1)，np?10,npq?9, 又设阅览室至少应设n个座位 则P{X?n}??(8

n?10)?0.95??(1.65)，3n?10?1.65,n?14.95，故至少应设15个座位 。 327、某地区的月降水量为X，X~N(40,42)(单位：mm)，求从某月起连续10个月的月降水量都不超过50mm的概率。

)?(解 P(X?50?50?40?)?4(2.?5)0., 9938所以连续10个月的月降水量都不超过50mm的概率 p?0.993810?0.9396。 28、已知X~N(0,1)，求Y?aX?b 的概率密度函数。

解

f(x)?12?e?x22,???x??，?y?ax?b 是单调函数，其反函数

是：x?h(y)?y?bdx1,???y???，?h?(y)? 故Y的密度函数为：adyaf(y)?f[h(y)]?h?(y)?12?e1y?b2?()2a1,a???y???

29、已知离散型随机变量X的分布列为： ? ? X 0 2 pk 1 41 21 4求下列函数的分布列：（1）Y?2X??； （2）Y?sinX。 解 (1) X?0,Y??? ; X??2,Y?0 ; X??,Y??

P(Y???)?P(X?0)?1?1 , P(Y?0)?P(X?)? , 422P(Y??)?P(X??)?1 . 4Ypk（2)

??14120?

1 4同理得： X?0,Y?0, X?9

?2,Y?1 , X??,Y?0。

Ypk011?441

1 230．设X解

~U(?1,1)，求Y?X2的分布函数与概率密度fY(y)。

?x?1?12?1 y?g(x)?x2，F(y)??pX(x)dx p(x)??其它?0x2?y当 y?0 时 , F(y)?0 , 当 y?1 时 F(y)?1 当 0?y?1 时 , F(y)?1ydx???y2y ， .

。

0?y?1

其它

?1,?f(y)?F?(y)??2y?0,?31. 设随机变量X的密度函数为 fX(x)???2(1?x),0?x?1

0,其他?求随机变量Y的密度函数p(y)：（1）Y?3X; (2) Y?3?X; (3) Y?X2. 解 （1）因为 y?3x0?x?1, 所以 x?y10?y?3,x?? .33??2(1?f(y)????y1?2)?,0?y?30y?3?(3?y),?，即 f(y)??9 .33?0,其他0,其他?1.（2）因为 y?3?x0?x?1, 所以 x?3?y2?y?3,?x??

2y??2[1?(3?y)]?1,2?y?3?2(y?2),?，即 p(y)??p(y)??0,其他0,其他??（3）因为 y?x23 . 所以 x?0?x?1,1y0?y?1,?x? .2y10

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