概率论习题二解答

习题二

1．一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得点数之和，求X的分布列， 解 X所有可能取值为 2，3，4，??，12 。设对应的分布列为

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

pk

12345654321 3636363636363636363636其中：X =2 表示点数和为2，只有一种可能，

X = 3 有两种可能：第一只取1，第二只取2；或第一只取2第二只取1。 X = 4 有三种可能：第一只取2，第二只取2；第一只取3，第二只取1；

第一只取1第二只取3。

X的其它值类似可得。点数之和的总可能情况数为 6?6?36。 2．有同类产品100件（其中有5件次品），每次从中任取1件，连续抽取20件。 （1）有放回抽取时，求抽得次品数X的分布列。

（2）无放回抽取时，求20件中所含次品数X的分布列。

k?5??95?解 （1）P(X?k)?C20?????100??100?k20?k,k?0,1,2,?,20

k20?kC5C95(2) P(X?k)?,k?0,1,2,3,4,5 20C1003．已知离散型随即变量分布列为：（1）P(X?k)?k,(k?1,2,?,10)A1

k（2）P(X?k)?A2(),(k?1,2,3) 试求常数A1,

1023A2。

k11010(1?10)解 （1） 由 ???k??1 解出 A1?55。

AA2Ak?111k?11322438?2??2?（2）由 ?A2???A2????A2(1??)?A2?1 解出

33927?3?k?1k?1?3?3kkA2?27。 384．某射手每发击中目标的概率为0.8，今对靶独立重复射击20次（每次1发）。 （1）求恰好击中2发的概率；（2）求中靶发数不超过2的概率；（3）求至少击中2发的概率。

解 设20次射击中靶次数为X,X~B(20,0.8).

1

2(1) 射击20次恰有两次中靶的概率为： P(X?2)?C200.820.218?0

(2) P(X?2)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)

12 ?0.220?C200.8?0.219?C200.82?0.218?0

(3) P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?1

5． 某个大楼有5台同类型供水设备，已知在任何时刻每台设备被使用的概率均为0.1，求在同一时刻以下问题的概率： （1）恰有2台设备被使用的概率；（2）至多有3台设备被使用的概率； （3）至少有1台设备被使用的概率。

解 设被使用的设备数为X，则X~B(5,0.1)，

2（1） P(X?2)?C50.120.93?0.0729

（2）P(X?3)?1?P(X?4)?P(X?5)?0.99954 （3）P(X?0)?1?P(X?0)?1?0.95?0.40951

6、某车间内有12台车床，每台车床由于装卸加工件等原因，时常要停车，设各台车床停车或开车是相互独立的，每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为0.3，求：（1）任一时刻车间内停车台数X分布列；(2）任一时刻车间内车床全部工作的概率。

k解 X~B(12,0.3)，（1）P(X?k)?C120.3k0.712?k,k?0,1,?,12。

（2） P(X?0)?0.712?0.0138

7. 随机变量X~?(?)，已知P(X?1)?P(X?2),求?（??0)的值，并写出X的分布律。 解 由题目可知?e????2e??22ke?2,k?0,1,2,，解得 ??2,P(X?k)?k!。

8．已知在一定工序下，生产某种产品的次品率为0.001。今在同一工序下，独立生

产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。

解 设5000件产品中的次品数为X，X~B(5000,0.001)，此题可以用泊松分布计

2

5ke?5算。.???np?5000?0.001?5 ?P(X?2)???0.95 96k!k?2?9．从发芽率为99%的种子里，任取100粒，求发芽粒数X不小于97的概率。 解 用Y表示不发芽的种子数，则 Y~B(100,0.01).此题可以用泊松分布计算，

1ke?1??100?0.01?1，P(Y?3)?1?P(Y?4)?1???1?0.019?0.981

k?4k!?10、某城市110报警台，在一般情况下，1小时内平均接到电话呼唤60次，已知电话呼唤次数X服从泊松分布（由已知，参数λ=60），求在一般情况下，30秒内接到电话呼唤次数不超过1次的概率。（提示：第三章将说明λ是单位时间内电话交换台接到呼叫次数的平均值，所以λ=解 X~?(?)60?30?0.5） 3600??60?30?0.5 3600?0.5ke?0.5?P(X?1)?1?P(X?2)?1???1?0.090204?0.9098

k!k?211、设10件产品中恰好有2件次品，现在接连进行不放回抽样，直到取到正品为止。

（1）求抽样次数X的分布列及其分布函数； （2）求P(X?3.5),解 P(X?1)?P(X??2),P(1?X?3).

4188111,P(X?2?)??,PX(?3?)?? 559455945x?1?0?451?x?2? F(x)??

44452?x?3??x?3?1（2）P(X?3.5)?0,P(X??2)?1,P(1?X?3)?F(2)?F(1)?8 45?0?a?12、设离散型随机变量X的分布函数为F(x)??2?3?a?a?b?试求常数a,.b的值和 X的分布列。

3

x??1?1?x?11?x?2x?2 且F()?321，2解 因为 F()?3212115，即 ?a?,a?；a?b?1,b?。 23266?0x??1?16?1?x?1?, P(X??1)?F(?1)?F(?1?)?16, F(x)???121?x?2??1x?2P(X?1)?F(1)?F(1?)?12?16?13,P(X?2)?F(2)?F(2?)?1?12?12

?x0?x?1?13. 设随机变量X的密度函数为 f(x)??2?x1?x?2，求分布函数F(x)。

?0其他?0x?0??xx2?tdt?0?x?1?0?2 F(x)??2?1xdx?x(2?t)dt?2x?x?11?x?2?1??02?1x?2??1?(1?x)e?x,x?014．设随即变量X的分布函数为F(x)??，

0,x?0?（1）求P(X?1)，（2）求X的概率密度函数。 解 （1） P(X?1)?F(1)?1?(1?1)e?1?0.264 2?xe?x,x?0（2） p(x)?F?(x)??。

?0,x?0?ex2,x?0?15．设X的密度函数为 f(x)??14,0?x?2 ,求X的分布函数F(x)及

?0,x?2?P(X?1) 。

4

1x?1xxedx?e,x?0?2???2?1x1x?10x,0?x?2 解 F(x)???edx??dx????0424?21,x?2???P(X?1)?1?P(X?1)?1?F(1)?1?31? 44??e??x,x?016．设X的密度函数为: f(x)?? ,（常数λ＞0）

x?0?0,11（1）求 P(X?)； （2）求常数C，使P (X ＞C )=。

2?解 （1） P(X?1)????e??xdx??e??x??1??0.632

0?e0111（2）

???C?e??xdx??e??x??111?； e??C? 得 C?ln2。

2?C217．设X在(?a,a)上服从均匀分布，其中a?0，试分别确定满足下列关系的常数a。（1）P(X?1)?1， （2）P(X?1)?P(X?1)。 3?a?x?ax?a?1,?解 由题意可得 （1） p(x)??2a?0,?当 0?a?1 时 ,P(X?1)?0

a?11??a?3?12a3 21?（2） 当 a?1 时 , P(X?1)?2aa

1P(X?1)?1?P(X?1)?1?

a

11?1??a?2 ， ?P(X?1)?P(X?1)aa则当 a?1 时 ,P(X?1)?2a

a1dx?5

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