数学建模竞赛论文封面模板(2)

三 优化方案分析

3.1 文中难点的理解分析

对?值的理解分析：题目中已经给出?值的定义，为实际输出的牵引加速度与最大加速的的百分比。由公式

aamax?MaF???可以反向理解，笔者认为?就相当于实际

MamaxFmax列车运行过程中的油门。由于文中要求节能的运行方式，列车参数中限定了最大加速度，牵引力过大只能导致“空转”，空耗能，所以在对后面的题目求解过程中实际输出的牵引力F分为两种情况：

(1).当最大牵引力产生的加速度a'?amax，则F?Fmax。 (2).当最大牵引力产生的加速度a'?amax，则制动中的?类似。

对坡道的理解分析：由题目给出的附件中的车站公里标可以看出，类似于A6-A7的时候坡道系数应该取反。原理图如下：

?Fmax??M?amax，即??Mamax??。

Fmax

图1 坡道的理解图

如上图1所示，正方向为上坡的时候，反方向为下坡。类似的，正方向为下坡的时候，反方向为上坡。

对列车线路曲率为0情况的理解分析：在题中给出列车曲线阻力为：wc?c/R，列车行驶过程中曲率半径R=0m的情况，并非列车曲线阻力?c为无穷大。相反，R为0m，代表为“直路”，在后面问题的求解算法中，均加入判定条件，若R为0m，则wc=0N。

3.2 问题（一）分析建模与结果

3.2.1 问题（一）（1）分析

问题（一）（1）是求A6-A7站间的节能优化驾驶方案。

最优的操纵序列的选取：针对一些路况的驾驶采用的驾驶阶段题目说明中已经给出分析：列车在平道或者坡度较小的线路上时，理论上存在最优的操纵序列：最大加速-恒速-惰行-最大制动。当运行路线较短时，只有3个控制阶段，即“最大加速-惰行-最大制动”。论文XX中提出一种最优的惰行控制方案，惰行控制即在制动降速前惰行，减少牵引能耗，通过选择合适的惰行点从而实现全程运行节能。问题的最终是求能耗的最优，上文中所提出的四个阶段中，只有牵引阶段和巡航阶段是耗能的，而惰行阶段和制动阶段是不产生耗能的。结合问题（一）（1）中的问题，即需要惰行阶段的时间越长越好，而理想状况是“最大牵引-惰行至终点”在后面的算法得出不能同时满足时间和距离这两方面的约束。故得到问题的节能最优驾驶方案为：最大加速-惰行-最大制动。

线路中限速情况的分析说明：从附件中可以查出两站间的距离为1354m；前120m的限速为55km/h，后面1234m的限速为80km/h。根据列车最大牵引加速到第一次限速Vm1- 6 -

值时有没有到达新的限速值阶段，理论上存在如图2上面的两种情况。为了定性分析实际属于哪种情况，本文特将列车以最大牵引加速至第一限速55km/h,所行驶距离为121m，而55km/h限速段距离为120m。当列车加速到55km/h时，已经进入80km/h的限速段。通过上述分析，最终得到结果从A6-A7的路况列车节能最优的方案为情况2。

另外，题中给出了从A6到A7的运行时间为110s，为了更好的寻找最优能耗的运行方案，算法在运行时间的基础上给予一定的裕量--富裕时间，为?1s。

图2 对于限速情况的考虑

3.2.2 问题（一）（1）建模与算法

优化驾驶模型是一个同时含有等式约束和不等式约束的非线性规划问题。本文对问题一的建模如下： 牵引阶段：E???*Fii?1Nmaxi*dLi；N为牵引阶段的总步长数，?i、Fmax i为每个步长对

应?、Fmax实时的取值，dLi为每个步长列车对应行驶的距离。 巡航阶段：E?j??*dL；由于Fii?1N1实际??（阻力），且只有??0时，此时j=1,牵引

力才做功；当??0时，j=；此时没有牵引力，只有制动力，故没有耗能。 惰行阶段：E?0，不耗能。 制动阶段：E?0，不耗能。 目标：minE?约束条件：

?E；E为能耗，n为阶段数。

ii?0n- 7 -

?n??ti?t总?110s；?i?0?V(t)?Vmax(t)；?n ?

Li?L总?1354m；??i?1??a(t)?amax；惰行点与制动点的求取：整个最优方案中最重要的一环就是惰行点与制动点的选取，本文中采用的求解方法为：如图3所示，由于本题中Vm1限速并没有影响，首先求取列车以最大牵引加速到第二次限速Vm2可以得到一条牵引曲线；类似，通过反向推理，在终点A7处反向推出制动曲线。

图3 问题一算法原理说明图

然后在牵引曲线选择步长进行迭代运算惰行曲线，由于制动曲线是在终点处方向算出的，迭代中只需满足以下两个条件：（1）以牵引曲线上采样点为基础得出的惰行曲线必须得与制动曲线有交点。即一直惰行至速度为0时，距离必须超过终点。（2）牵引阶段、惰行阶段和制动阶段三部分时间相加总和在110s左右富裕时间1s，富裕时间在上文已交代过。此种方法可以得出多组解，由于题中要求的是求节能最优方案，而上述三个阶段中只有牵引阶段是耗能的，所以只需取t1最小值的那组解即为所求解。具体主要算法程序见附录XXX，全部程序见附件XXX。算法伪代码如下所示： 算法伪代码（一）： 列车运行惰行点与制动点的寻找算法（主要） 1.计算从起点即v=0、T=0时的牵引曲线，采样点共N个。 2.从110s终点处方向求解制动曲线，采样点共M个。 3.for i=1; i?N; i++ do

4.以牵引曲线第i个采样点作为惰行阶段的初始点，计算惰行曲线。 5.如果惰行曲线重点的公里标

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7.如果整个时间T?，执行8，否则返回3。 （109,111）8. end for

9.计算总耗能。

3.2.3 问题（一）（1）算法结果分析

根据上述方法建模与算法，得到问题一（1）中的距离速度曲线如图4所示。为了更好对上文的限速情况进行分析，特用小图局部放大了公里标在13747m处限速改变时的情况，证明前面所分析是正确有效的。根据图4可以得出如下分析结果：

图4 问题一(A)的迭代结果图

1.列车从A6站开始以最大牵引加速，在限速55km/h的下是没有影响的。加速到速度为64.05km/h的时候，开始惰行，牵引阶段的时间为20.90s。

2.到20.90s时列车开始惰行，不产生能耗，惰行至98s时，列车速度降为41.47km/h。惰行阶段时间约为78s.

3.到98s时，列车开始制动，最大制动减速，当约为111s时，列车速度降为0km/h,刚好行驶1354m，到达A7站。

将问题（一）(1)的求解结果统计在表格2中：

表2 A6-A7最节能方案结果 站间距离/m 1353.6 运行时间/s 111s 惰行距离/m 1066 惰行点 位置 （公里标） 13380m 制动点 位置 （公里标） 12314m 能耗/(J) 3.49?107

另外，求解中关键点?的牵引阶段各个时刻的取值也统计在了附录XXX中，其余各相关值已按要求填写至文件“数据格式.xlsx”中。 3.2.4 问题（一）（2）分析

问题一（2）和（1）的相比，模型需要做出了很大的一些改变。首先两个站分别限定的时间t1、t2并没有告知，只是有条件t1?t2?220s；再者所求能耗为两个运行过程的总能耗最低。故模型与算法需要重新建立。为了更好的对运行时间进行定性分析，特对最大能力运行方案与最节能（最耗时）运行方案两个极端情况进行演算。

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理论上在站间存在如图5的最大能力运行曲线，这种运行操作序列为：最大牵引加速—巡航阶段—最大制动减速。这种运行操作序列所花时间最少，但是同时也是最不节能的方案。单列车单站间最节能运行曲线在上文中已经讨论过“最大牵引加速—直接惰行”方案的可能性是不存在的，所以时间最长的方案只能是问题一（1）中所采取的方案。运行操作序列为：最大牵引加速—惰行阶段—最大制动减速。运行曲线如图6所示。

图5 理论站间最大能力运行曲线图

图6 理论站间时间最长运行曲线

A6—A7站间距离为1354m，A7—A8站间距离为1280m，限速情况前120m限速均为55km/h，后面限速均为80km/h。A6—A8站间路况也类似：曲率均为0m，坡度均为“平路—上坡—下坡—平路”阶段，而且坡度均比较小。上述情况均表明两站路程是相似的，所以运行时间与运行距离速度曲线也是相似的，可以粗略得到问题一（2）的最优节能运行曲线如图7所示。上述分析表明两段路程的运行时间应均在[100,120]之间，可以建立题一（2）数学模型如下所示，其中求取每段惰行点位置和制动点位置的方法均与题一（1）相似，模型与算法中不再赘述。

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