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5.5《推理与证明》错误解题分析
一、基础知识导学
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理。
2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
3. 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。
4. 归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
5. 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。
6. 类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。 7. 演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理。
8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法。
9. 分析法：从原因推导到结果的思维方法。 10. 综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。 11. 反证法：判定非q为假，推出q为真的方法。
12. 应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真。 13. 数学归纳法：设｛pn｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以断定，｛pn｝对一切正整数成立。 14. 数学归纳法的步骤： （1）证明当（2）假设
二、疑难知识导析
（如
或2等）时，结论正确； 时结论正确，证明
时结论也正确。
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1、归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。
而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理。
2、应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果
3、数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法。 三、经典例题导讲
[例1] {an}是正数组成的数列,其前n项和为sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于sn与2的等比中项。 (1)写出数列{an}的前3项;
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); 【错解】由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2。
下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是an=4n-2。 (n∈N)。 ①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立。 ②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2。由题意,有将ak=4k-2代入上式，得2k?由题意,有
ak?2?2sk 22sk，解得sk?2k2
ak?1?2?2sk?1,sk?1?sk?ak?1 222将sk?2k2代入，化简得ak?1?4ak?1?4?16k?0
解得ak?1?2?4k。∴ak?1?2?4k?4(k?1)?2 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立。 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立。 【错因】在于解题过程中忽视了取值的取舍。 【正解】由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2。
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猜想数列{an}有通项公式an=4n-2。
下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是an=4n-2。 (n∈N)。 ①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立。 ②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2。由题意,有将ak=4k-2代入上式，得2k?由题意,有
ak?2?2sk 22sk，解得sk?2k2
ak?1?2?2sk?1,sk?1?sk?ak?1 222将sk?2k2代入，化简得ak?1?4ak?1?4?16k?0
解得ak?1?2?4k。由ak?1?0∴ak?1?2?4k?4(k?1)?2 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立。 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立。 [例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数，
【错解】 证明：假设当即那么当
时，
这就是说，当
时，等式成立。可知等式对任意k?N成立。
的情况 。
（k?N）时，等式成立，
，
【错因】在于推理不严密，没有证明当
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【正解】证明：（1）当 （2）假设当即那么当
时，
这就是说，当
时，等式成立。
时，左式（
，右式
）时，等式成立，
，
，所以等式成立。
由（1）、（2），可知等式对任意k?N成立。 [例3] 是否存在自然数m，使得若存在，求出
对任意自然数，都能被
整除，
的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由。
【分析】本题是开放性题型，先求出f(1)，f(2)，f(3)?再归纳、猜想、证明。 解：
， ， ，
?? 猜想， （1）当
能被36整除，用数学归纳法证明如下： 时，
，能被36整除。
能被36整除。
（2）假设当n?k，（k?N）时，那么，当
时，
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由归纳假设，当为自然数时，∴ 这就是说当
时命题成立。
，f(n)都能被36整除。
整除，所以36为最大。
能被36整除， 为偶数，则
能被36整除。
能被36整除，
由（1）、（2）对任意当
取大于36的自然数时，f(1)?36不能被
[例4] 设点A1是曲线C：xy?1(x?0,y?0)与直线y?x的交点，过A1点作直线y?x的垂线交轴于B1，过B1点作直线y?x的平行线交曲线C于A2，再过A2点作B1A2的垂线作交X轴于B2，如此继续下去可得到一系列的点的横坐标
的通项公式。
，
，?，
，?如图，试求
【分析】本题并没有指明求以通过寻求
与
通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可
的通项公式。 ，， 令与（
，
）联立，解得，得
，所以点
（
），解得
的递推关系式求与
（
解：解法一 直线直线
的方程为的方程为
联立，消元得
）。 ，
， 所以点
直线令
的方程为，得
，所以点 同样可求得点
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（，0）
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