随机变量及其分布函数习题

第2章 随机变量及其分布

习题 2

1．设有函数

F(x)???sinx,?0,0?x?,其它，

试说明F(x)能否是某随机变量的分布函数。 解：

不能，易知对x1?x2，有：

P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?F(x2)?F(x1),

又P{x1?X?x2}?0,F(x2)?F(x1)，因此F(x)在定义域内必为单调递增函数。 然而F(x)在(0,?)上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。

2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。在筐中同时取3只，以X表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X的分布列。

3解：X的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有C7种取法。

{X?3}表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情

况，故P(X?3)?11?2?31??3C77?6?535

{X?4}表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取

2两个，共有C3种取法，故

C3231?2?33P(X?4)?3??。

C717?6?535{X?5}表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取

2个，共有C4种取法，故

2C44?31?2?36P(X?5)?3??，

C71?27?6?5352{X?6}表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中

1

2任取2个，共有C5种取法，故

C525?41?2?310P(X?6)?3??，

C71?27?6?535{X?7}表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6

2中任取2个，共有C6种取法，故

2C66?51?2?315P(X?7)?3??C71?27?6?535。

3. 设X服从(0?1)分布，其分布列为P{X?k}?pk(1?p)1?k, k?0,1, 求X的分布函数，并作出其图形。

解：X服从（0-1）分布，其分布律为：

X P 当x?0时，F(X)?P{X?x}?0 0 1 1?p p 当0?x?1时，F(X)?P{X?x}?P{X?0}?1?p

F(X)?P{X?x}?P{X?0}?P{X?1}当x?1时，

?(1?p)?p?1,即有：

x?0?0,?F(X)?1?p,0?x?1

?1,x?1?（没有图。。。）

4．将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次所得点数之和，以Y表示两次中得到的小的点数，试分别求X与Y的分布列。

解 以X1X2分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为

，2，...,6;X2?1，2，...,6} S?{(X1X2)|X1?1共有6?6?36个样本点

X?X1?X2所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

2

易知当(X1,X2)分别为：(1，1)X取2(1，2),(2，1)X取3(1，3),(2，2),(3，1)X取4(1，4),(2，3),(3，2),(4，1)X取5(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1)X取6(1，6),(2，5),(3，4),(4，3),(5，2),(6，1)X取7(2，6),(3，5),(4，4),(5，3),(6，2)X取8(3，6),(4，5),(5，4),(6，3)X取9(4，6),(5，5),(6，4)X取10(5，6),(6，5)X取11(6，6)X取12故X的分布列如下：

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 1/35 1/36 Y的取值为1,2,3,4,5,6 Y的分布列为：

Y P 1 11/36 2 9/36 3 7/36 4 5/36 5 3/36 6 1/36

5．试求下列分布列中的待定系数k

k,m?1,2,3? m?44k（2）r.v.?~P{??m}?m,m?1,2,3?

3（1）r.v.?~P{??m}?（3）r.v.?~P{??m}?k解：（1）由分布列的性质有

?mm!,m?0,1,2,?,??0为常数。

1?kkk11????k1?42?43?46，

所以

k??6。 11 （2）由分布列的性质有

111??P{??m}?4k(?2??)?2k33?1，

?3

所以

k?1。 2或解 由

P(??m)? 故有

4k1m?14k?(),m?1,2,3...,所以?服从几何分布， 3m334k11?1?,k?。 332?? （3）由分布列的性质有

?k?m?m1??P{??m}???k??ke?m?0m?0m!m?0m! ，

所以 k?e??。

6．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p失败的概率为

q?1?p(0?p?1)。

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布列。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）

（2）将试验进行到出现r次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布列。（此时称X服从以r,p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以X表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出X的分布列，并计算X取偶数的概率。

解（1）此试验至少做一次，此即X可能值的最小值。若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为

P{X?k}?qk?1p?(1?p)k?1p,k?1,2,3,...。

（1）此试验至少做r次，若需做k次，则第k次比为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为 P{X?k}?(k?1rk?r)pq,k?r,r?1,...。 r?1（2）先写出X的分布律。它是题（1）中p=0.45的情形。所求的分布律为 P{X?k}?0.45(0.55)数的概率为P{

7．有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放

4

?k?1。因{X?j}?{X?k}??(j?k),故X取偶,k?1,2,...?2k?1(X?2k)}?P{X?2k}?0.45(0.55)???Uk?1k?1k?1?0.45?0.5511?. 21?0.5531

入乙袋，再从乙袋任取4个球，求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数X的分布列。

解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的球为白球的概率为

3，5黑球为

2。 5（1）假设取出的是白球，乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球，黑球数可为0,1,2，概率如下

40C4C21 P(X?0)?, ?4C61531C4C28 P(X?1)??, 4C61522C4C26 P(X?2)?. ?4C615（2）假设取出的是黑球，乙袋此时为3白球3黑球，从中取出4球，黑球数可为1,2,3.概率如下

31C3C33 P(X?1)??, 4C615C32C329 P(X?2)??, 4C61513C3C33 P(X?3)?. ?4C615综合以上两种情况，又已知从甲袋取出为白球的概率为

32，黑球是.所以 55311P(X?0)???51525382310P(X?1)?????51551525

362912P(X?2)?????51551525232P(X?3)???51525分布列为

X 0 1 2 3 Pk 1 2510 2512 252 255

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