初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型(3)

在△MAD与△MEN中，

，

∴△MAD≌△MEN， ∴DM=MN，AD=EN， ∵AD=CD， ∴CD=NE，

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∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°， 在△DCF与△NEF中，

，

∴△MAD≌△MEN， ∴DF=NF，∠CFD=∠EFN， ∵∠EFN+∠NFC=90°， ∴∠DFC+∠CFN=90°， ∴∠DFN=90°， ∴DM⊥FM，DM=FM

（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM， 证明如下：如图3，连接DF，NF， 连接DF，NF，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，

∵点E、B、C在同一条直线上， ∴AD∥CN， ∴∠ADN=∠MNE， 在△MAD与△MEN中，

，

∴△MAD≌△MEN， ∴DM=MN，AD=EN， ∵AD=CD， ∴CD=NE， ∵CF=EF，

∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°， ∴∠DCF=∠NEF， 在△DCF与△NEF中，

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，

∴△MAD≌△MEN， ∴DF=NF，∠CFD=∠EFN， ∵∠CFD+∠EFD=90°， ∴∠NFE+∠EFD=90°， ∴∠DFN=90°， ∴DM⊥FM，DM=FM．

点评： 本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题中的难点是辅助线的作法，作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在。

类型3：以函数为载体的存在性探索问题

存在性的问题的探求方法一般是先假设存在，再根据假设和已知条件推理，最后下结论，若假设成立，则存在，若假设不成立，则不存在。21cnjy.com

【例题】（2015?葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y

轴交于点B，抛物线y=ax+x+c经过B、C两点．21·cn·jy·com （1）求抛物线的解析式；

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2

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（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax+x+c经过B、C两点，求出a\\c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．

（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣ x+x+3），则点M的坐标是（x，﹣ x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．

解答： 解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）， ∵抛物线y=ax+x+c经过B、C两点， ∴

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2

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解得

2

∴y=﹣x+x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴设点E的坐标是（x，﹣ x+x+3）， 则点M的坐标是（x，﹣ x+3）， ∴EM=﹣x+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x+x， ∴S△ABC=S△BEM+S△MEC =

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22

=×（﹣x+x）×4 =﹣x+3x =﹣（x﹣2）+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3． （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

2

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①如图2，

由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM=

，

=，

∴AM所在的直线的斜率是：∵y=﹣x+x+3的对称轴是x=1，

2

；

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x+x+3），

2

则

解得∵x＜0，

或，

∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．

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②如图3，

由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM=

，

=，

∴AM所在的直线的斜率是：∵y=﹣x+x+3的对称轴是x=1，

2

；

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x+x+3），

2

则

解得∵x＞0，

或，

∴点P的坐标是（5，﹣）．

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③如图4，

由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM=

∵y=﹣x+x+3的对称轴是x=1，

2

，

=，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x+x+3），

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