初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型(2)

所以 GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,即可得=2.（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图

3,可得AD=AG,DH=DG,AD=EC,所以，又因DG∥BC，可得

，所以

由比例的性质可得，即

,所以

试题解析：(1)证明：方法一（选择思路一）， 过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，

.

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∵△ABC是等边三角形， ∴∠ADG=∠B=60°, ∠A=60°, ∴△ADG是等边三角形， ∴GD=AD=CE, ∵DH⊥AC,GH=AH,

∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF, ∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF.

(2)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2, 则∠ADG=∠B=90°, ∵∠BAC=∠ADH=30°, ∴∠HGD=∠HDG=60°, ∴AH=GH=GD,AD=由题意可知，AD=∴GD=CE,

∵DG∥BC, ∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF, ∴△GDF≌△CEF, ∴GF=CF, ∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,

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GD, CE,

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∴=2.

(3) .

考点：等边三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；平行线的性质；比例的性质.

类型2：从特殊到一般的探索性问题

这类问题往往结合几何图形的变化，从特殊到一般的探索性问题，一般前几问是后面问题的铺垫，其解决方法也是后问的模板。2-1-c-n-j-y

【例题】（2015·四川甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 试探究下列问题：

（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）

（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

考点：四边形综合题．.

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专题：综合题

分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；

（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；

（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形． 解答：（1）上述结论①，②仍然成立， 理由为：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°， 在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE， ∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）上述结论①，②仍然成立， 理由为：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°， 在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠E=∠F，

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∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）四边形MNPQ是正方形．

理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H， ∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点， ∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF， ∴四边形OHQG是平行四边形， ∵AF=DE， ∴MQ=PQ=PN=MN， ∴四边形MNPQ是菱形， ∵AF⊥DE， ∴∠AOD=90°， ∴∠HQG=∠AOD=90°， ∴四边形MNPQ是正方形．

点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关键．

【变式练习】

（2015?齐齐哈尔,第26题8分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）

（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；

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（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；

（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，于是结论得到． 解答： 解：（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM， 证明：连接DF，NF，

∵四边形ABCD和CGEF是正方形， ∴AD∥BC，BC∥GE， ∴AD∥GE， ∴∠DAM=∠NEM， ∵M是AE的中点， ∴AM=EM，

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