非稳态导热问题有限体积法(3)

图3 单元划分 Fig.3 unit division

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6.2 程序设计

辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 第32卷

本程序是为计算图3的实例而特定设计的.首先定义变量和数组，输入已知值.其次根据图3单元划分，包括单元和节点编号，建立单元节点关联矩阵和节点坐标等.然后建立方程组，包括系数矩阵赋零、计算单元和边界对系数矩阵的贡献.最后进行方程求解，采用高斯消元法，求得各时刻各节点的温度，输出到指定文件.

(c) 4000s

7 模拟结果及分析

针对本文第五部分所提出的实例，经过运行程序，在程序中的算法分别采用新提出的有限体积法、常用有限体积法、有限单元法，进行计算，并分别输出250 s、1 000 s、4 000 s、8 000 s时的温度分布值.通过对比不同方法的数值计算结果以及理论计算结果，得到了以下结论：

（1）各种算法及理论分析的温度时空变化趋势相同.在同一时刻，温度沿x轴、y轴方向的变化都呈近似的余弦函数.从中心向边界温度逐渐降低，变化辐度逐渐增大.在任一固定点温度随时间变化呈近似的负指数关系，温度变化率也以负指数关系衰减.温度在空间的变化幅度开始时较大，随时间的

(d) 8000s

图4 不同时刻新有限体积法模拟温度分布

Fig.4 temperature distributions of the new FVM at different times

（2）用不同的算法得到的定量数值存在较大差异.图5为1 000 s时各种方法所得的结果进行对比.由图5可以看出，新提出的有限体积法以及有限单元法和理论值都非常接近，而常用的有限体积法所得的结果和理论值偏差很大，误差大约在50%.常用的有限体积法计算结果定性上与理论解相同，所以不通过比较是很难判断出其计算的误差的.有限体积法原理比有限单元法简单得多，适用性也更

延长而逐渐减小.有限体积法计算得到的250 s、 强，但如果有限体积圈划不当，会产生很大的误差，1 000 s、4 000 s、8 000 s的温度分布，见图4.

在复杂工程问题计算中又不易察觉，可能会引起严

重的后果.本文找到的矩形单元有限体积圈划方法

计算结果与理论解如此接近，说明了其正确性.

(a) 250s

56-5854-56

T/℃

(a) 1000s理论解

52-5450-5248-50

46-48

T/℃

X/m

(b) 1000s

(b) 1000s有限单元法

第5期 秦跃平，等：非稳态导热问题有限体积法

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(c) 1000s新有限体积法

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8 结 论

（1）提出了一种新矩形划分的有限体积法，推导了数值计算公式.证明了这种方法的稳态部分计算公式系数与有限单元法成同一比例，而目前常用的有限体积法得到的计算公式与有限单元法没有必然联系.新有限体积法的提出建立了有限体积法与有限单元法的联系.

（2）编制了数值计算方法的计算机程序，证实了所提出的新的有限体积法与理论计算值间的误差小.

（3）数值计算结果表明，与常用的有限体积方法相比，本文提出的方法精度高，常用的方法与实际有很大的误差，这说明有限体积法如果使用不当，会产生严重的计算错误.

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